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dans Topologie
Bonsoir! voici un petit problème que m'a posé un jour mon professeur de mathématiques :
est ce que si on prend un compact connexe de |R^n dont le complémentaire est connexe alors sa frontière est connexe ?
Voilivoilou si vous avez des idées je suis prenant
est ce que si on prend un compact connexe de |R^n dont le complémentaire est connexe alors sa frontière est connexe ?
Voilivoilou si vous avez des idées je suis prenant
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Réponses
Et cette frontière, n'est-elle pas aussi la frontière du complémentaire ?
Pour montrer le résultat voulu on peut utiliser le lemme suivant: Si U et V sont des
ouverts connexes de R^n dont l'union est R^n alors leur intersection est connexe. En effet H^1(R^n)=0, donc la suite exacte de Mayer-Vietoris est: 0->H^0(R^n)->H^0(U)xH^0(V)->H^0(U inter V)->0. Or H^0(X) est de dimension 1 ssi X est connexe, et c'est le cas ici, bref U inter V est connexe.
Soit maintenant K connexe dans R^n, de complémentaire connexe. Soit r>0, soit U(r) l'union des boules ouvertes de rayon r dont le centre est dans K. Soit V(r) l'union des boules de rayon r dont le centre est dans R^n\K. On voit que:
U(r) et V(r) sont connexes, et leur intersection aussi (lemme) puisque leur union vaut R^n. soit F(r) l'adhérence de U(r) inter V(r), celle-ci est aussi connexe, et de plus bornée (à distance au plus r de K) donc compacte. La famille (F(r))r>0 décroît quand r diminue et son intersection est la frontière de K qui donc est connexe, par un résultat classique.
NB: on ne peut se passer du fait que H^1(R^n)=0 (imaginer une bande autour d'un tore par exemple).
honte à moi. Voilà ce qui arrive quand on ne réfléchit que dans $\R^2$.
Je ne comprend pas la réponse proposée car je ne sais pas ce que signifie $H^1(\R^n)$.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Mauricio
Si quelqu'un a envie d'écrire un "excellent" livre de topologie algébrique qu'il ne se gène pas!
> Le lemme de Foys me paraît douteux : prendre U=Rn
> et V un ouvert non connexe.
J'ai bien précisé que U et V étaient connexes.
@Christophe: A qui le dis-tu...