Axiomes topologie
Habituellement pour les axiomes d'une topologie on demande que toute reunion d'ouvert soit ouverte. Je remplace cet axiome par: toute reunion finie d'ouvert est un ouvert. Il me semble que cela ne change pas grand chose a la theorie generale, non? Par exemple dans $R^2$ j'appelle ouverts les ensemble ouverts dans le sens usuel avec la condition supplementaire que le bord doit etre un polygone, j'obtiens une topologie equivalente a la topologie usuelle, rien de tres pathologique au contraire.
Donc je ne vois pas l'interet de cet axiome, est-ce que quelqu'un peut me l'expliquer?
Mauricio
Donc je ne vois pas l'interet de cet axiome, est-ce que quelqu'un peut me l'expliquer?
Mauricio
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Réponses
Le premier exemple qui me vient à l'esprit, c'est qu'on ne pourrait pas définir l'intérieur d'une partie si on n'avait pas le droit de faire des unions quelconques. Pour le reste je cherche et je reviens quand j'ai un truc vraiment convaincant...
Une topologie se définit aussi par la méthode des voisinages vu ton niveau je ne detaille pas les axiomes des voisinages.
On dit O que est ouvert si il est voisinage de tous ses points.
Dans la toplogie définie par la méthode des ouverts V est un voisinage de x s'il contient un ouvert qui contient x.
avec ta proposition que seule les réunions dénombrables d'ouverts sont ouvertes
un ensemble a voisinage de chacun de ses points ne serait plus un ouvert.
les deux défintions d'une topologie ne seraient plus équivalentes.
Or la définition par les voisinages est trés utilisées pourles EVT:voisinages de 0
Cordialement
\item $A,B \in O_i \Rightarrow A \cap B \in O_i$ \\
\item $A,B \in O_i \Rightarrow A \cup B \in O_i$ \\
\item $X=\bigcup O_i.$
\end{enumerate} Lucas : Pourquoi je ne peux pas définir l'interieur ? (à part que l'intérieur n'est plus un ouvert mais une réunion d'ouvert)
Liautard : oui c'est vrai $X$ est un voisinage de tous ses points et n'est pas forcement un ouvert. Et alors ? (tu suggères peut-être un probleme avec le lemme de Baire par exemple).
En conclusion, il semble que ce soit simplement pour simplifier la terminologie et éviter d'avoir à distinguer la notion de base de voisinages et de topologie.
Mauricio
[La case LaTeX AD]
Comme je suis honnête, je vais faire l'effort de répondre à Mauricio: souhaiterais-tu récupérer le mot {\it topologie}?
Comme il est déjà utilisé avec ...{\it réunion quelconque d'ouvert}..., et comme tu sembles trouver ta notion intéressante, trouve-lui un nom et écris une thèse. Cherches un directeur de thèse (ou de mémoire) et dis-lui: {\it bonjour, je vous propose de faire un thèse dans laquelle je vais essayer de "retrouver" le plus possible de la substantifique moelle de la notion de topologie, dans la notion plus générale de mauriciologie (on se restreint aux réunions finies)}
C'est respectable! Reste à voir qui te prendra sous sa coupe...
Mais évite de dire {\it je souhaite changer le sens "officiel" du mot topologie, en un sens plus général, etc, etc} car ce ne serait pas un problème de maths.
Par ailleurs, avec "ta" notion, tout est à refaire: continuité, convergence, produits, etc... Travail de titan!!!! Toutes tes mauriciologies ont des mauriciologies duales (en changeant ouvert en fermé), etc... Que devient la connexité??? La compacité (moins important, certes sous ton angle d'attaque), etc???
Connais-tu l'analyse non standard? Ca pourrait t'aider à réfléchir à ces trucs
Un mea culpa, meme tardif, vaut mieux que rien: j'avoue, qu'en relisant ce vieux fil, je "comprends" qu'on m'ait dit que le ton est "méchant". En fait, (j'essaie de me comprendre moi-même), je pense que j'étais "chauffé" par la polémique précédente, qui devait avoir lieu sur un fil concernant "applic/fonction where are the diff?" et que je gardais le meme ton pour rep à mauricio
Pour aller de l'avant donne moi avec tes définitions de la topologie:
La définition d'une fonction continue en un point:ilya plusieurs possobilités
mais dans tousles cas on va perdre d'importants théorèmes.
cordialement
Liautard: eh bien, la definition habituelle: l'image reciproque d'un ouvert est un ouvert. Qu'est ce que je vais perdre?
Mauricio
$U$ ouvert $\implies$ enveloppe convexe de $U$ est ouvert.
Alors tous les thms habituels, par exemple ceux de l'analyse fonctionelle (comme Hahn-Banach) restent vrai avec les memes demonstrations. Vrai/Faux?
Mauricio
[N'oublie pas de cocher la case LaTeX. md.]
Ta démarche est "exotique": la "convexité" ne concerne que les EV et non les espaces topologiques généraux. Donc, remplacer quelconque par fini pour ensuite te restreindre aux sous-ensembles des EV... (je fais exprès de dire EV )
Cherche toi-même et propose-nous des solutions et là on se fera un plaisir de te lire je pense... Parce que là, les questions que tu poses, 99% de ce genre de questions sont trop difficiles car trop générales. Par exemple, pas seulement les topologies, mais aussi les algèbres de Boole sont de mauriciologies, etc, etc...
Continuité en un point ,comme je l'ai précisé.
Déja soit X et Y des espaces topologiques Pr l'application;(x,y) vers x
démontre que pr est ouverte
Cordialement
Si tu fais ça dans un ensemble $E$, tu obtiens exactement un sous-treillis du treillis $(E,\cup,\cap)$. Les treillis, c'est toute une théorie. Ca t'aidera peut-être à faire ce que tu veux.
[La case LaTeX. AD]
Gonzalo: merci pour l'indication.
Chalons: va troller ailleurs et ne reviens pas sur mes fils.
Mauricio.
Je t'ai dit que tu atteindrais le même but en nommant "mauriciologies" ce que tu voulais appeler "topologies" et que l'étude des mauriciologies (ensembles de parties de d'un ensemble E stable par unions finies et intersection finies) à elle seule serait un problème tellement général que même le mot "thèse" serait un euphémisme pour la désigner
Par ailleurs, je t'ai dit que ça englobe déjà les algèbres de boole. Donc, dans ton étude des mauriciologies, tu couvres d'un coup les topologies, et les algèbres de boole, qui, pourtant, sont loin d'offrir les mêmes activités aux mathématiciens...
Peux-tu me dire où est la partie trollique de mes propos?
{\it ma these je l'ai depuis longtemps et les mathematiques je les connais surement beaucoup mieux que toi alors va polluer d'autre fils que le mien s'il te plait. Merci}.
Toi, par contre, tu t'adresses aux gens d'une manière pour le moins pas très diplomatique -D
A christophe chalons : ne fais pas semblant de ne pas comprendre ce que te dit MAuricio. Tu sais très bien que tes messages sont (souvent) écrits sur un ton provocateur à la limite de la condescendance (cf. charte 3.3.5). Et ce n'est pas valable que dans ce topic (cf. les diverses remarques qu'on t'a fait à ce sujet).
Je t'invite donc à arrêter de pavoiser et à nous faire profiter (simplement et cordialement) de ton savoir mathématique.
Ca profitera sans doute à bien du monde sans mécontenter une partie des participant-e-s de ce forum.
Merci par avance.
michaël (modérateur).
De même, le fait de devoir rajouter des axiomes ad hoc pour "retrouver" les notions usuelles ("le bord est un polygone", "l'enveloppe convexe d'un ouvert est un ouvert") n'incite pas à penser que la généralisation apporte grand chose. Mais peut-être n'ai-je pas compris la question: si c'est "pourquoi cet axiome?", je pense que c'est simplement par analogie avec les espaces métriques et les objets qu'on considère naturellement dans ce cadre-là (mais alors dans $\R$ par exemple on n'a pas besoin de la stabilité par union plus que dénombrable, et demander celle-ci semble naturel vu qu'une union disjointe d'intervalles ouverts est bien quelque chose d'ouvert, après tout), ajouté au fait que la théorie qu'on obtient fonctionne bien et correspond à une certaine intuition/permet de formaliser des résultats préexistants.
Si la question est une façon détournée d'introduire une nouvelle notion alors celle-ci me semble trop générale pour avoir des applications (ou alors avant de l'introduire il faudrait avoir une idée de cadre où ça pourrait s'appliquer).
D'ailleurs je n'ai pas verifie mais pour la topologie de Zariski ca m'etonnerait beaucoup que l'on autorise des reunions infinies d'ouverts (pour un schema non noetherien).
Mais tu as bien compris il s'agit, comme sur mon exemple avec les polygones, de faire un aller-retour et de montrer qu'avec cette propriete de finitude, rien ne change en terme de convergence de suites (dans un exemple tres particulier).
Liautard: Il y a un truc un peu pathologique, mais on peut modifier la definition de fonction continue si l'on veut y remedier: une fonction f : X -> Y est continue si pour tout ouvert U de X, V de Y l'ensemble $f^{-1}(V) \cap U$ est ouvert.(remarque que X n'est pas necessairement ouvert, cf exemple avec les polygones).
Avec cette definition, la projection $E \oplus F \to E$
est une application ouverte et la topologie induite sur $E+F/F$ coincide avec celle de $E$. (sauf erreur de ma part)
En tout cas merci pour cette remarque pertinente.
Pour ce qui est de la continuite en un point, il me semble que ca ne pose pas de probleme. Une suite $x_n$ converge vers $x^$ si pour tout ouvert contenant $x$ il existe $N$ tel que blablabla. Connaisant la notion de convergence d'une suite, tu en deduis la notion de continuite en un point.
Chalons: je veux bien discuter avec toi si tu changes de ton.
Mauricio
Ta définition de la continuité,globale ,limite en effet des dégats
Reste que je ne vois pas pourquoi la projection X*Y sur x est ouverte cette propriété,n'a rien à voir avec la continuité.
Autre point il y a deux défintions de la continuité:en un point et globale
il faut les raccorder
A première vue je ne vois pas la solution.
Cordialement
Je pensais à l'ensemble des sous-ensemble fini d'un ensemble E infini. Ce n'est pas une topologie.
L'intérieur des sous-ensembles infinis semble difficile à définir...
La proposition de Mauricio amène à réfléchir sur la définition d'une topologie;
la méthode courante: " par les ouverts " est simple mais totalement gratuite:pourquoi ces axiomes?.
Il vaudrait mieux définir un topologie parla méthode des voisinages,en effet c'est cette notion qui permet de définir directement :la continuité et la limite d'un filtre,ce qui est le but de la topologie.
En gros une topogie sur X est la donnée pour tout x de X d'un ensempble de partie de X,contenant x, noté V(x):ensemble des voisinages de x.
premier axiome V(x) est un filtre.On peutjustifier cet axiome intutivement
On a pas parlé pour le moment d'ouvert et de fermé, mais on peut déja définir: limite , continuité, adhérence.
Pour retrouver les propriétés des espaces métriques,ilfaut un autre axiome
c'est là qu'interviennent les ouverts.
Une partie de X est ouverte si elle est un voisinage de tous ses points.
on ajoute alors un nouvel axiome qui fait que tout filtre V(x) a un base formée d'ouverts.
La méthode ,de Mauricio donne une base du filtre des voisinages pour tout point donc la bonne topologie.
Il aura ,à mon avis des problèmes avec les ouverts car sa définitinmanque de généralité car:une partie voisinage des ses points n'est plus ouverte,or c'est ce qui fait l'interet des ouverts.
Cordialement
[Modifié selon tes indications Bruno]
oui effectivement, j'ai regarde les axiomes pour les voisinages, il suffit de remplacer le mot ouvert par le mot voisinage dans ce que j'ai dis (pedro-cristian: c'est peut-etre ca que tu voulais dire). Donc la question, c'est essentiellement: si je re-ecris l'analyse fonctionelle avec les voisinages qu'est-ce que je dois changer et je pense que la reponse c'est rien a part la definition d'une fonction continue.
Sinon pour information, les axiomes n'ont qu'une validite tres limite et ceux de la topologie ne font pas exception, des la fin des annees 50, Grothendieck a donne de nouveaux axiomes de ce que l'on appelle aujourd'hui une topologie de Grothendieck (qui contrairement a ce que j'ai ecris sont une modification non triviale de la notion de topologie, meme conceptuellement).
Mauricio
Meme pas la défintion d'une fonction continue en un point,elle se définit par les voisinages.
Mais à mon avis les ouverts (voisinage de leurs point) et les fermés(identiques à leur adhérences),sont indispensables.
Cordialement
Quand on définit une topologie par sa famille d'ouverts, on définit aussitôt les fermés par passage au complémentaire, et si seules a priori une réunion finie d'ouverts est ouverte, on aura seulement toute intersection finie de fermés, est fermées. J'ai l'impression que la théorie va être pauvre.
Pour Liautard : penser en base de voisinages au lieu d'ouverts me parait être quasiment la même chose. Par contre, mes souvenirs sont lointains, mais Topoloser par exemple, pourra confirmer que les premiers toplogues polonais (du style Lukasiewics, orthograhe non garantie.. Lusin ) définissaient une topologie à partir de l'application qui en langage moderne envoie une partie A sur son adhérence, autrement dit ils partaient d'une application f de l'ensemble des parties de E dans lui même avec les "bonnes" propriétés
(f croissante, f(réunion finie)=réunion finie des f etc.)
une structure "mauricienne", a peut-être un intérêt, mais autre que topologique, wait and see ; à Mauricio de cogiter
Oump
La notion de voisinages est plus riche que celle d'ouverts,je vais donner un exemple important.
Un espace topolgique E sera dit régulier si pour tout point x de E le filtre de ses voisinages Vx a une base formée de parties fermées.
C'est le cas pour ceux que l'on utilse en analyse. Pour un espace métrique la régularité est évidente.
On démontre alors un théorème fondamental pour la prolongation des fonctions continues.
Soit X et Y des espaces topologiques, Y étant régulier. A une partie dense de X
Soit f une application continue de A dans Y.
Si pour tout a de X la limite de f : quand x tend vers a en restant dans A existe
alors il existe une fonction continue g de X dans Y, unique nécessairement, qui prolonge f.
Ce theorème est la base de la prolongation des fonctions continues.
Pourles espaces métriques, la démonstration se fait sans mentionner explicitement la régularité qui est évidente.
Cordialement
Je connais bien sur la notion que tu rappelles et les théorèmes de prolongement.
Mais sur le fond la notion de voisinage, pour moi est une def commode à partir des ouverts, pour des énoncés plus simples, et cela grâce à la notion de filtre,.. et rien de plus !
Finalement la base de tout reste soit la def des fermés ( def historique à la polonaise, je rajoute Pontriagin, Sierpinski, Kuratowski, Banach bien sûr, et j'en oublie certainement)
soit la def à partir des axiomes des ouverts.
persiste et signe;)
Oump
Bon:chacun son point de vue
Mais pour certains EVT la topologie se définit par vune base de voisinages de
0,sans faire référence aux ouverts.
Cordialement
Bien sûr on va être d'accord si tu changes le pb ! Bien sûr que la structure d'evt, amène à privilégier les voisinages de l'origine et les notions de convexe équilibré etc ; ici on a une richesse du support qui amène à présenter différemment la topologie. Alors d'accord, mais on a un peu déplacé le débat,
et il n'y a aucune polémique !
(d'ailleurs la présentation générale d'une toplogie par les filtres de voisinages s'est pratiquée, j'en ai eu des ex à Bordeaux dans les années 60 avec des exposés de prof de la génération des Fréchet and co, personnellement j'ai toujours préféré la présentation, disons, du premier tome de topologie de Bourbaki, avec ses exos permettant de bien faire le tri dans les différentes notions de séparation ; ça remonte loin (50 ans déjà hélas)
Cordialement
Oump.
Comme je suis pressé je vais utiliser IST de Nelson (c'est une liste d'axiomes qui étend ZFC en ce qu'on appelle "analyse non standard")
Soit donc $Y$ un ensemble d'ouverts et $U$ la réunion des éléments de $Y$. On {\bf suppose} qu'on a le droit de dire que $U$ n'est pas ouvert que s'il existe un élément standard $a$ de $U$ et un élément $x$ superproche de $a$ avec $x\notin U$.
L'expression {\it $x$ est superproche de $a$} signifie "pour tout ouvert standard V qui contient $a$, $x\in V$"
Soit $a$ dans $U$, $x$ hors de $U$ et $a$ superproche de $x$ attestant que $U$ n'est pas un ouvert:
l'appartenance de $a$ à $U$, et le fait qu'il est standard entraine qu'il existe un ouvert $W$ {\bf standard} de $Y$ qui contient $a$. Comme $W$ est ouvert, $x\in W$ aussi. Donc $x\in U$ . Contradiction!
Soit donc $Y$ un ensemble d'ouverts et $U$ la réunion des éléments de $Y$. On {\bf suppose} qu'on a le droit de dire que $U$ n'est pas ouvert que s'il existe un élément $a$ de $U$ et un ultrafiltre $Z$ de limite $a$ avec $U\notin Z$.
Soient un élément $a$ de $U$ et un ultrafiltre $Z$ de limite $a$ avec $U\notin Z$ attestant que $U$ n'est pas un ouvert:
l'appartenance de $a$ à $U$ entraine qu'il existe un ouvert $W$ de $Y$ qui contient $a$. Comme $W$ est ouvert, $W\in Z$ car $a$ est la limite de $Z$. Donc $U$ qui est $\supseteq W$ appartient aussi à l'ultrafiltre $Z$. Contradiction!
En l'absence de l'axiome du choix, c'est moins évident...
(t'as vu, je suis {\bf ton}niquement tendre)
P.S. mais en fait Mauricio que veux-tu au juste?
Player : Au lieu de montrer qu'il existe un ouvert borné dans un problème particulier, j'ai changé la notion de topologie, de telle sorte que mes ouverts restent bornés.
Si tu veux au lieu de démontrer une propriété je la mets dans mes axiomes et je vérifie que ces axiomes sont suffisants pour faire ce que je veux faire (si je veux être plus précis ça m'entrainerait trop loin et je suis encore trop loin de mon but pour rédiger quoi que ce soit, désolé).
M.