Axiomes topologie

Donc j'ai envie de dire une topologie c'est un ensemble de sous ensembles $O_i$ d'un ensemble $X$ tels que \begin{enumerate}
\item $A,B \in O_i \Rightarrow A \cap B \in O_i$ \\
\item $A,B \in O_i \Rightarrow A \cup B \in O_i$ \\
\item $X=\bigcup O_i.$
\end{enumerate} Lucas : Pourquoi je ne peux pas définir l'interieur ? (à part que l'intérieur n'est plus un ouvert mais une réunion d'ouvert)
Liautard : oui c'est vrai $X$ est un voisinage de tous ses points et n'est pas forcement un ouvert. Et alors ? (tu suggères peut-être un probleme avec le lemme de Baire par exemple).
En conclusion, il semble que ce soit simplement pour simplifier la terminologie et éviter d'avoir à distinguer la notion de base de voisinages et de topologie.
Mauricio

[La case LaTeX AD]

Il faut ajouter un axiome.
$U$ ouvert $\implies$ enveloppe convexe de $U$ est ouvert.
Alors tous les thms habituels, par exemple ceux de l'analyse fonctionelle (comme Hahn-Banach) restent vrai avec les memes demonstrations. Vrai/Faux?

Mauricio

[N'oublie pas de cocher la case LaTeX. md.]

Liautard: merci pour ces deux observations, je vais y reflechir.
Gonzalo: merci pour l'indication.
Chalons: va troller ailleurs et ne reviens pas sur mes fils.
Mauricio.

Topoloser: La definition est assez restrictive par exemple si tu veux travailler dans la categorie PL. Je pense que pour les algebristes aussi cet axiome est encombrant (par exemple pour les varietes toriques). Dans mon cas c'est pour l'analyse pur et dure qu'il me gene (pour des raisons un peu longue a expliquer).
D'ailleurs je n'ai pas verifie mais pour la topologie de Zariski ca m'etonnerait beaucoup que l'on autorise des reunions infinies d'ouverts (pour un schema non noetherien).
Mais tu as bien compris il s'agit, comme sur mon exemple avec les polygones, de faire un aller-retour et de montrer qu'avec cette propriete de finitude, rien ne change en terme de convergence de suites (dans un exemple tres particulier).
Liautard: Il y a un truc un peu pathologique, mais on peut modifier la definition de fonction continue si l'on veut y remedier: une fonction f : X -> Y est continue si pour tout ouvert U de X, V de Y l'ensemble $f^{-1}(V) \cap U$ est ouvert.(remarque que X n'est pas necessairement ouvert, cf exemple avec les polygones).
Avec cette definition, la projection $E \oplus F \to E$
est une application ouverte et la topologie induite sur $E+F/F$ coincide avec celle de $E$. (sauf erreur de ma part)
En tout cas merci pour cette remarque pertinente.
Pour ce qui est de la continuite en un point, il me semble que ca ne pose pas de probleme. Une suite $x_n$ converge vers $x^$ si pour tout ouvert contenant $x$ il existe $N$ tel que blablabla. Connaisant la notion de convergence d'une suite, tu en deduis la notion de continuite en un point.
Chalons: je veux bien discuter avec toi si tu changes de ton.
Mauricio

Salut Liautard,
oui effectivement, j'ai regarde les axiomes pour les voisinages, il suffit de remplacer le mot ouvert par le mot voisinage dans ce que j'ai dis (pedro-cristian: c'est peut-etre ca que tu voulais dire). Donc la question, c'est essentiellement: si je re-ecris l'analyse fonctionelle avec les voisinages qu'est-ce que je dois changer et je pense que la reponse c'est rien a part la definition d'une fonction continue.
Sinon pour information, les axiomes n'ont qu'une validite tres limite et ceux de la topologie ne font pas exception, des la fin des annees 50, Grothendieck a donne de nouveaux axiomes de ce que l'on appelle aujourd'hui une topologie de Grothendieck (qui contrairement a ce que j'ai ecris sont une modification non triviale de la notion de topologie, meme conceptuellement).

Mauricio

Christophe : je vais réfléchir à ce que tu dis (excuse-moi de t'avoir agressé à mon tour dans un message précédent).
Player : Au lieu de montrer qu'il existe un ouvert borné dans un problème particulier, j'ai changé la notion de topologie, de telle sorte que mes ouverts restent bornés.
Si tu veux au lieu de démontrer une propriété je la mets dans mes axiomes et je vérifie que ces axiomes sont suffisants pour faire ce que je veux faire (si je veux être plus précis ça m'entrainerait trop loin et je suis encore trop loin de mon but pour rédiger quoi que ce soit, désolé).

M.