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Axiomes topologie

Envoyé par Mauricio 
Mauricio
Axiomes topologie
il y a treize années
Habituellement pour les axiomes d'une topologie on demande que toute reunion d'ouvert soit ouverte. Je remplace cet axiome par: toute reunion finie d'ouvert est un ouvert. Il me semble que cela ne change pas grand chose a la theorie generale, non? Par exemple dans $R^2$ j'appelle ouverts les ensemble ouverts dans le sens usuel avec la condition supplementaire que le bord doit etre un polygone, j'obtiens une topologie equivalente a la topologie usuelle, rien de tres pathologique au contraire.
Donc je ne vois pas l'interet de cet axiome, est-ce que quelqu'un peut me l'expliquer?
Mauricio
incognito
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
La réponse est dans la question, cela évite d'introduire d'autres conditions, en particulier définir la notion de bord!
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
avatar
Ouh là, j'ai un gros doute. Je ne comprends pas trop quand tu dis "topologie équivalente", le problème c'est que ce que tu décris n'est justement pas une topologie.

Le premier exemple qui me vient à l'esprit, c'est qu'on ne pourrait pas définir l'intérieur d'une partie si on n'avait pas le droit de faire des unions quelconques. Pour le reste je cherche et je reviens quand j'ai un truc vraiment convaincant...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par AD.
Liautard
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
bonjour Mauricio


Une topologie se définit aussi par la méthode des voisinages vu ton niveau je ne detaille pas les axiomes des voisinages.

On dit O que est ouvert si il est voisinage de tous ses points.


Dans la toplogie définie par la méthode des ouverts V est un voisinage de x s'il contient un ouvert qui contient x.

avec ta proposition que seule les réunions dénombrables d'ouverts sont ouvertes
un ensemble a voisinage de chacun de ses points ne serait plus un ouvert.


les deux défintions d'une topologie ne seraient plus équivalentes.


Or la définition par les voisinages est trés utilisées pourles EVT:voisinages de 0

Cordialement
Mauricio
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Donc j'ai envie de dire une topologie c'est un ensemble de sous ensembles $O_i$ d'un ensemble $X$ tels que \begin{enumerate}
\item $A,B \in O_i \Rightarrow A \cap B \in O_i$ \\
\item $A,B \in O_i \Rightarrow A \cup B \in O_i$ \\
\item $X=\bigcup O_i.$
\end{enumerate} Lucas : Pourquoi je ne peux pas définir l'interieur ? (à part que l'intérieur n'est plus un ouvert mais une réunion d'ouvert)
Liautard : oui c'est vrai $X$ est un voisinage de tous ses points et n'est pas forcement un ouvert. Et alors ? (tu suggères peut-être un probleme avec le lemme de Baire par exemple).
En conclusion, il semble que ce soit simplement pour simplifier la terminologie et éviter d'avoir à distinguer la notion de base de voisinages et de topologie.
Mauricio

[La case LaTeX :) AD]
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
C'est à croire que j'ai payé Mauricio pour illustrer des propos tenus dans le fil sur les fonctions et les applications...

Comme je suis honnête, je vais faire l'effort de répondre à Mauricio: souhaiterais-tu récupérer le mot {\it topologie}?

Comme il est déjà utilisé avec ...{\it réunion quelconque d'ouvert}..., et comme tu sembles trouver ta notion intéressante, trouve-lui un nom et écris une thèse. Cherches un directeur de thèse (ou de mémoire) et dis-lui: {\it bonjour, je vous propose de faire un thèse dans laquelle je vais essayer de "retrouver" le plus possible de la substantifique moelle de la notion de topologie, dans la notion plus générale de mauriciologie (on se restreint aux réunions finies)}

C'est respectable! Reste à voir qui te prendra sous sa coupe...

Mais évite de dire {\it je souhaite changer le sens "officiel" du mot topologie, en un sens plus général, etc, etc} car ce ne serait pas un problème de maths.

Par ailleurs, avec "ta" notion, tout est à refaire: continuité, convergence, produits, etc... Travail de titan!!!! Toutes tes mauriciologies ont des mauriciologies duales (en changeant ouvert en fermé), etc... Que devient la connexité??? La compacité (moins important, certes sous ton angle d'attaque), etc???

Connais-tu l'analyse non standard? Ca pourrait t'aider à réfléchir à ces trucs



Un mea culpa, meme tardif, vaut mieux que rien: j'avoue, qu'en relisant ce vieux fil, je "comprends" qu'on m'ait dit que le ton est "méchant". En fait, (j'essaie de me comprendre moi-même), je pense que j'étais "chauffé" par la polémique précédente, qui devait avoir lieu sur un fil concernant "applic/fonction where are the diff?" et que je gardais le meme ton pour rep à mauricio
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonjour Mauricio

Pour aller de l'avant donne moi avec tes définitions de la topologie:

La définition d'une fonction continue en un point:ilya plusieurs possobilités

mais dans tousles cas on va perdre d'importants théorèmes.


cordialement
Mauricio
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Chalons: ma these je l'ai depuis longtemps et les mathematiques je les connais surement beaucoup mieux que toi alors va polluer d'autre fils que le mien s'il te plait. Merci.

Liautard: eh bien, la definition habituelle: l'image reciproque d'un ouvert est un ouvert. Qu'est ce que je vais perdre?

Mauricio
Mauricio
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Il faut ajouter un axiome.
$U$ ouvert $\implies$ enveloppe convexe de $U$ est ouvert.
Alors tous les thms habituels, par exemple ceux de l'analyse fonctionelle (comme Hahn-Banach) restent vrai avec les memes demonstrations. Vrai/Faux?

Mauricio

[N'oublie pas de cocher la case LaTeX. md.]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par michael.
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Là c'est pas un devoir maison que tu nous amènes et qu'on doit te résoudre, c'est ta "thèse" que tu veux qu'on écrive...

Ta démarche est "exotique": la "convexité" ne concerne que les EV et non les espaces topologiques généraux. Donc, remplacer quelconque par fini pour ensuite te restreindre aux sous-ensembles des EV... (je fais exprès de dire EV ;))

Cherche toi-même et propose-nous des solutions et là on se fera un plaisir de te lire je pense... Parce que là, les questions que tu poses, 99% de ce genre de questions sont trop difficiles car trop générales. Par exemple, pas seulement les topologies, mais aussi les algèbres de Boole sont de mauriciologies, etc, etc...
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonjour


Continuité en un point ,comme je l'ai précisé.

Déja soit X et Y des espaces topologiques Pr l'application;(x,y) vers x
démontre que pr est ouverte

Cordialement
Gonzalo
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Citation: << Habituellement pour les axiomes d'une topologie on demande que toute reunion d'ouvert soit ouverte. Je remplace cet axiome par: toute reunion finie d'ouvert est un ouvert. >>

Si tu fais ça dans un ensemble $E$, tu obtiens exactement un sous-treillis du treillis $(E,\cup,\cap)$. Les treillis, c'est toute une théorie. Ca t'aidera peut-être à faire ce que tu veux.

[La case LaTeX. :) AD]
MAuricio
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Liautard: merci pour ces deux observations, je vais y reflechir.
Gonzalo: merci pour l'indication.
Chalons: va troller ailleurs et ne reviens pas sur mes fils.
Mauricio.
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Pffff, franchement, j'ai été gentil.... Liautard et Gonzalo ont le sens de la diplomatie, moi peut-être un peu moins, mais je ne vois pas en quoi je t'ai fait des remarques désagréables.

Je t'ai dit que tu atteindrais le même but en nommant "mauriciologies" ce que tu voulais appeler "topologies" et que l'étude des mauriciologies (ensembles de parties de d'un ensemble E stable par unions finies et intersection finies) à elle seule serait un problème tellement général que même le mot "thèse" serait un euphémisme pour la désigner

Par ailleurs, je t'ai dit que ça englobe déjà les algèbres de boole. Donc, dans ton étude des mauriciologies, tu couvres d'un coup les topologies, et les algèbres de boole, qui, pourtant, sont loin d'offrir les mêmes activités aux mathématiciens...

Peux-tu me dire où est la partie trollique de mes propos?

{\it ma these je l'ai depuis longtemps et les mathematiques je les connais surement beaucoup mieux que toi alors va polluer d'autre fils que le mien s'il te plait. Merci}.

Toi, par contre, tu t'adresses aux gens d'une manière pour le moins pas très diplomatique :)-D
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
avatar
Salut,

A christophe chalons : ne fais pas semblant de ne pas comprendre ce que te dit MAuricio. Tu sais très bien que tes messages sont (souvent) écrits sur un ton provocateur à la limite de la condescendance (cf. charte 3.3.5). Et ce n'est pas valable que dans ce topic (cf. les diverses remarques qu'on t'a fait à ce sujet).

Je t'invite donc à arrêter de pavoiser et à nous faire profiter (simplement et cordialement) de ton savoir mathématique.
Ca profitera sans doute à bien du monde sans mécontenter une partie des participant-e-s de ce forum.

Merci par avance.

michaël (modérateur).
topoloser
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
A priori la notion paraît beaucoup trop générale- Et il me semble que la remarque de Christophe Chalons selon laquelle les algèbres de Boole satisfont aussi ces axiomes est très pertinente. Du coup, si on étudiait cette notion, ne se retrouverait-on pas naturellement amené à distinguer la classe de structures qui vérifient la propriété plus forte pour l'union quelconque (ou disons, l'union de tout cardinal inférieur à un certain $\kappa$), retombant ainsi sur la notion de topologie?
De même, le fait de devoir rajouter des axiomes ad hoc pour "retrouver" les notions usuelles ("le bord est un polygone", "l'enveloppe convexe d'un ouvert est un ouvert") n'incite pas à penser que la généralisation apporte grand chose. Mais peut-être n'ai-je pas compris la question: si c'est "pourquoi cet axiome?", je pense que c'est simplement par analogie avec les espaces métriques et les objets qu'on considère naturellement dans ce cadre-là (mais alors dans $\R$ par exemple on n'a pas besoin de la stabilité par union plus que dénombrable, et demander celle-ci semble naturel vu qu'une union disjointe d'intervalles ouverts est bien quelque chose d'ouvert, après tout), ajouté au fait que la théorie qu'on obtient fonctionne bien et correspond à une certaine intuition/permet de formaliser des résultats préexistants.
Si la question est une façon détournée d'introduire une nouvelle notion alors celle-ci me semble trop générale pour avoir des applications (ou alors avant de l'introduire il faudrait avoir une idée de cadre où ça pourrait s'appliquer).
Mauricio
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Topoloser: La definition est assez restrictive par exemple si tu veux travailler dans la categorie PL. Je pense que pour les algebristes aussi cet axiome est encombrant (par exemple pour les varietes toriques). Dans mon cas c'est pour l'analyse pur et dure qu'il me gene (pour des raisons un peu longue a expliquer).
D'ailleurs je n'ai pas verifie mais pour la topologie de Zariski ca m'etonnerait beaucoup que l'on autorise des reunions infinies d'ouverts (pour un schema non noetherien).
Mais tu as bien compris il s'agit, comme sur mon exemple avec les polygones, de faire un aller-retour et de montrer qu'avec cette propriete de finitude, rien ne change en terme de convergence de suites (dans un exemple tres particulier).
Liautard: Il y a un truc un peu pathologique, mais on peut modifier la definition de fonction continue si l'on veut y remedier: une fonction f : X -> Y est continue si pour tout ouvert U de X, V de Y l'ensemble $f^{-1}(V) \cap U$ est ouvert.(remarque que X n'est pas necessairement ouvert, cf exemple avec les polygones).
Avec cette definition, la projection $E \oplus F \to E$
est une application ouverte et la topologie induite sur $E+F/F$ coincide avec celle de $E$. (sauf erreur de ma part)
En tout cas merci pour cette remarque pertinente.
Pour ce qui est de la continuite en un point, il me semble que ca ne pose pas de probleme. Une suite $x_n$ converge vers $x^$ si pour tout ouvert contenant $x$ il existe $N$ tel que blablabla. Connaisant la notion de convergence d'une suite, tu en deduis la notion de continuite en un point.
Chalons: je veux bien discuter avec toi si tu changes de ton.
Mauricio



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par michael.
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonjour Mauricio


Ta définition de la continuité,globale ,limite en effet des dégats

Reste que je ne vois pas pourquoi la projection X*Y sur x est ouverte cette propriété,n'a rien à voir avec la continuité.


Autre point il y a deux défintions de la continuité:en un point et globale
il faut les raccorder
A première vue je ne vois pas la solution.



Cordialement
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
L'exemple donné est une base de voisinage.. difficile de trouver quelque chose de pathologique.

Je pensais à l'ensemble des sous-ensemble fini d'un ensemble E infini. Ce n'est pas une topologie.
L'intérieur des sous-ensembles infinis semble difficile à définir...
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonjour


La proposition de Mauricio amène à réfléchir sur la définition d'une topologie;

la méthode courante: " par les ouverts " est simple mais totalement gratuite:pourquoi ces axiomes?.

Il vaudrait mieux définir un topologie parla méthode des voisinages,en effet c'est cette notion qui permet de définir directement :la continuité et la limite d'un filtre,ce qui est le but de la topologie.

En gros une topogie sur X est la donnée pour tout x de X d'un ensempble de partie de X,contenant x, noté V(x):ensemble des voisinages de x.
premier axiome V(x) est un filtre.On peutjustifier cet axiome intutivement

On a pas parlé pour le moment d'ouvert et de fermé, mais on peut déja définir: limite , continuité, adhérence.

Pour retrouver les propriétés des espaces métriques,ilfaut un autre axiome
c'est là qu'interviennent les ouverts.
Une partie de X est ouverte si elle est un voisinage de tous ses points.
on ajoute alors un nouvel axiome qui fait que tout filtre V(x) a un base formée d'ouverts.

La méthode ,de Mauricio donne une base du filtre des voisinages pour tout point donc la bonne topologie.
Il aura ,à mon avis des problèmes avec les ouverts car sa définitinmanque de généralité car:une partie voisinage des ses points n'est plus ouverte,or c'est ce qui fait l'interet des ouverts.



Cordialement

[Modifié selon tes indications Bruno]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Bruno.
Mauricio
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Salut Liautard,
oui effectivement, j'ai regarde les axiomes pour les voisinages, il suffit de remplacer le mot ouvert par le mot voisinage dans ce que j'ai dis (pedro-cristian: c'est peut-etre ca que tu voulais dire). Donc la question, c'est essentiellement: si je re-ecris l'analyse fonctionelle avec les voisinages qu'est-ce que je dois changer et je pense que la reponse c'est rien a part la definition d'une fonction continue.
Sinon pour information, les axiomes n'ont qu'une validite tres limite et ceux de la topologie ne font pas exception, des la fin des annees 50, Grothendieck a donne de nouveaux axiomes de ce que l'on appelle aujourd'hui une topologie de Grothendieck (qui contrairement a ce que j'ai ecris sont une modification non triviale de la notion de topologie, meme conceptuellement).

Mauricio
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonjour


Meme pas la défintion d'une fonction continue en un point,elle se définit par les voisinages.

Mais à mon avis les ouverts (voisinage de leurs point) et les fermés(identiques à leur adhérences),sont indispensables.


Cordialement
oumpapah
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonjour,

Quand on définit une topologie par sa famille d'ouverts, on définit aussitôt les fermés par passage au complémentaire, et si seules a priori une réunion finie d'ouverts est ouverte, on aura seulement toute intersection finie de fermés, est fermées. J'ai l'impression que la théorie va être pauvre.

Pour Liautard : penser en base de voisinages au lieu d'ouverts me parait être quasiment la même chose. Par contre, mes souvenirs sont lointains, mais Topoloser par exemple, pourra confirmer que les premiers toplogues polonais (du style Lukasiewics, orthograhe non garantie.. Lusin ) définissaient une topologie à partir de l'application qui en langage moderne envoie une partie A sur son adhérence, autrement dit ils partaient d'une application f de l'ensemble des parties de E dans lui même avec les "bonnes" propriétés
(f croissante, f(réunion finie)=réunion finie des f etc.)
une structure "mauricienne", a peut-être un intérêt, mais autre que topologique, wait and see ; à Mauricio de cogiter :)

Oump



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonjour Oump

La notion de voisinages est plus riche que celle d'ouverts,je vais donner un exemple important.

Un espace topolgique E sera dit régulier si pour tout point x de E le filtre de ses voisinages Vx a une base formée de parties fermées.
C'est le cas pour ceux que l'on utilse en analyse. Pour un espace métrique la régularité est évidente.

On démontre alors un théorème fondamental pour la prolongation des fonctions continues.

Soit X et Y des espaces topologiques, Y étant régulier. A une partie dense de X
Soit f une application continue de A dans Y.
Si pour tout a de X la limite de f : quand x tend vers a en restant dans A existe
alors il existe une fonction continue g de X dans Y, unique nécessairement, qui prolonge f.

Ce theorème est la base de la prolongation des fonctions continues.

Pourles espaces métriques, la démonstration se fait sans mentionner explicitement la régularité qui est évidente.

Cordialement



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
oumpapah
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonsoir Liautard,

Je connais bien sur la notion que tu rappelles et les théorèmes de prolongement.

Mais sur le fond la notion de voisinage, pour moi est une def commode à partir des ouverts, pour des énoncés plus simples, et cela grâce à la notion de filtre,.. et rien de plus !
Finalement la base de tout reste soit la def des fermés ( def historique à la polonaise, je rajoute Pontriagin, Sierpinski, Kuratowski, Banach bien sûr, et j'en oublie certainement)
soit la def à partir des axiomes des ouverts.
persiste et signe;)

Oump



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonjour Oump


Bon:chacun son point de vue

Mais pour certains EVT la topologie se définit par vune base de voisinages de
0,sans faire référence aux ouverts.

Cordialement
oumpapah
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bonsoir Liautard,

Bien sûr on va être d'accord si tu changes le pb ! Bien sûr que la structure d'evt, amène à privilégier les voisinages de l'origine et les notions de convexe équilibré etc ; ici on a une richesse du support qui amène à présenter différemment la topologie. Alors d'accord, mais on a un peu déplacé le débat,
et il n'y a aucune polémique !

(d'ailleurs la présentation générale d'une toplogie par les filtres de voisinages s'est pratiquée, j'en ai eu des ex à Bordeaux dans les années 60 avec des exposés de prof de la génération des Fréchet and co, personnellement j'ai toujours préféré la présentation, disons, du premier tome de topologie de Bourbaki, avec ses exos permettant de bien faire le tri dans les différentes notions de séparation ; ça remonte loin (50 ans déjà hélas)

Cordialement

Oump.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Peut-être une preuve qu'une réunion {\bf quelconque} d'ouverts est un ouvert (à partir bien sûr de certains axiomes lol) apporterait du grain à moudre...

Comme je suis pressé je vais utiliser IST de Nelson (c'est une liste d'axiomes qui étend ZFC en ce qu'on appelle "analyse non standard")

Soit donc $Y$ un ensemble d'ouverts et $U$ la réunion des éléments de $Y$. On {\bf suppose} qu'on a le droit de dire que $U$ n'est pas ouvert que s'il existe un élément standard $a$ de $U$ et un élément $x$ superproche de $a$ avec $x\notin U$.

L'expression {\it $x$ est superproche de $a$} signifie "pour tout ouvert standard V qui contient $a$, $x\in V$"

Soit $a$ dans $U$, $x$ hors de $U$ et $a$ superproche de $x$ attestant que $U$ n'est pas un ouvert:

l'appartenance de $a$ à $U$, et le fait qu'il est standard entraine qu'il existe un ouvert $W$ {\bf standard} de $Y$ qui contient $a$. Comme $W$ est ouvert, $x\in W$ aussi. Donc $x\in U$ . Contradiction!
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Bon, comme je vais pas au sport, j'ai un peu plus de tps. Je fais un copier coller de la preuve précédente au format "ZFC", pour ceux qui ne connaissent pas l'analyse non standard

Soit donc $Y$ un ensemble d'ouverts et $U$ la réunion des éléments de $Y$. On {\bf suppose} qu'on a le droit de dire que $U$ n'est pas ouvert que s'il existe un élément $a$ de $U$ et un ultrafiltre $Z$ de limite $a$ avec $U\notin Z$.

Soient un élément $a$ de $U$ et un ultrafiltre $Z$ de limite $a$ avec $U\notin Z$ attestant que $U$ n'est pas un ouvert:

l'appartenance de $a$ à $U$ entraine qu'il existe un ouvert $W$ de $Y$ qui contient $a$. Comme $W$ est ouvert, $W\in Z$ car $a$ est la limite de $Z$. Donc $U$ qui est $\supseteq W$ appartient aussi à l'ultrafiltre $Z$. Contradiction!
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
Donc, Mauricio, en présence de l'axiome du choix (qui permet d'avoir les ultrafiltres qu'on veut), je dirais que ton espoir est presque entièrement compromis (difficile d'aller contre la conclusions d'une preuve sans contester au moins une de ses hypothèses)

En l'absence de l'axiome du choix, c'est moins évident...

(t'as vu, je suis {\bf ton}niquement tendre)
Re: Axiomes topologie
il y a treize années
avatar
Il me semble que si p : X-> Y est un revetement et $X$ connexe, et $Y$ connexe et simplement connexe, alors $p$ est un diffeomorphisme, et il faut utiliser le fait que la reunion quelconque d'ouverts est un ouvert.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par marco.
Re: Axiomes topologie
il y a douze années
Pour info: en l'absence de l'axiome du choix, il est consistant de "croire" à l'inexistence d'un ultrafiltre non trivial sur quelque ensemble que ce soit
n.
Re: Axiomes topologie
il y a douze années
Bonjour, juste une remarque en passant. Ca ne me parait pas très adapté au cas non-archimédien ou les espaces sont totalement discontinus. Prends une boule "fermée" de $\Bbb C_p$, elle est composée de réunion de boules ouvertes disjointes et il y en a une infinité. La boule fermée est donc ouverte mais n'est pas compacte, etc etc. C'est un peu le même phénomène que la non compacité des boules fermée dans les ev archimédiens de dimension infinie.
Player
Re: Axiomes topologie
il y a douze années
Considérons, sur un ensemble X (infini) l'ensemble T des parties de X qui sont soit finies soit de complémentaire fini. Alors T est une topologie au sens de Mauricio mais pas au sens usuel (sinon ce serait la topologie discrète, mais il existe dans X des ensembles infinis de complémentaire infini). Du reste je crois que l'axiome classique de la réunion quelconque sert à faire en sorte que: dès que dans une partie Y d'un espace topologique, pour tout point x de Y il existe V ouvert tel que V est dans Y et x est dans V, alors Y est ouvert, bref on sait reconnaître les ouverts localement.
P.S. mais en fait Mauricio que veux-tu au juste?
Mauricio
Re: Axiomes topologie
il y a douze années
Christophe : je vais réfléchir à ce que tu dis (excuse-moi de t'avoir agressé à mon tour dans un message précédent).
Player : Au lieu de montrer qu'il existe un ouvert borné dans un problème particulier, j'ai changé la notion de topologie, de telle sorte que mes ouverts restent bornés.
Si tu veux au lieu de démontrer une propriété je la mets dans mes axiomes et je vérifie que ces axiomes sont suffisants pour faire ce que je veux faire (si je veux être plus précis ça m'entrainerait trop loin et je suis encore trop loin de mon but pour rédiger quoi que ce soit, désolé).

M.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
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