Précompact et complet

marco
marco
dans Topologie
Bonsoir,

Soit $E$ un espace vectoriel topologique, on dit qu'une partie $A$ de $E$ est précompacte si, pour tout ouvert $V$, il existe $a_1,...,a_n \in E$ tel que les $a_i+V$ recouvrent $A$.
Comment montrer que si $A$ est précompacte et complète, elle est compacte ?
En effet, si $E$ est à base dénombrable de voisinage, je le conçois. Mais sinon, ça m'a l'air difficile.

marco

Réponses

  • Liautard
    Liautard
    Bonjour

    La démonstration utilise les ultrafiltres et le théoréme : A est compact ssi
    tout ultrafiltre sur A est convergent

    Un sous-ensemble H de A est petit d'ordre V, où V est un voisinage de 0 symétrique
    si pour tout x, y de H : x-y appartient à V

    A est précompact si pour tout V il peut être recouvert par un nombre fini de
    de parties petites d'ordre V

    Il en résulte que tout ultrafiltre de parties de A contient une partie petite d'ordre V.
    Donc tout ultrafiltre est de Cauchy donc convergent pour A complet
    Donc A compact.

    Cordialement
  • marco
    marco
    La definition d'espace vectoriel topologique complet est-elle "toute suite de Cauchy converge" ? Car je ne vois pas comment passer d'un ultrafiltre de Cauchy à une suite de Cauchy.
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Marco: Bonne question.
    Liautard: est-ce que tu peux expliquer pourquoi on ne prends pas pour definition d'un espace complet que toute suite de Cauchy converge.
    Car le critere sur les filtres de Cauchy semble beaucoup plus difficile a demontrer et je ne vois pas ce qu'il apporte de plus.
    D'autre part, il semble que sur un espace metrique:
    "tout filtre ce Cauchy converge" equivaut a "toute suite de Cauchy converge."
    Pourquoi?
    Mauricio
  • gilles benson
    gilles benson
    bonjour, là encore la lecture de Bourbaki: 1)topologie et 2) espaces vectoriels topologiques s'impose. En particulier la notion de structure uniforme.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Mauricio4
    Mauricio4
    topologie+evt=400 pages et je n'ai pas eu l'impression que dans les traites Bourbaki je pouvais trouver autre chose que des precisions sur ce que je connais bien.(je souligne les traites car pour les seminaires c'est tout a fait different)
    Par exemple est-ce que dans ces 400 pages de Bourbaki on trouve un exemple (autrement qu'en exercice) d'un espace qui n'est pas complet et pour lequel toute suite de Cauchy converge?


    Mauricio
  • Liautard
    Liautard
    Bonjour

    Avec les notations introduites

    Pour Marco
    Un filtre F sur A est de cauchy si pour tout V il existe un élément X de F petit d'ordre V
    un espace,uniforme pour etre précis, est complet si tout filtre de cauchy est convergent.
    la condition est en général plus forte que: toute suite de cauchy est convergente,
    les deux coincidant pour les espaces métriques.

    Pour Mauricio
    Pour la notiond'espace complet,un exemple
    Soit X et Y des espaces uniformes,A une partie dense de X ,f une application uniformement continue de A dans Y, supposons Y complet.

    Montrons que f se prolonge par continuité en une application de X dans Y
    Pour cela ,d'aprés un théorème classique,il suffit de vérifier que pour tout a de X limf(x) quand x tends vers a en restant dans A existe.
    Soit F la trace sur A du filtre des voisinages de a cela veut dire que f(F) est convergent.
    Or F est de cauchy si f est uniformement continue f(F) est de cauchy donc convergent.
    Dans la démonstration la notion de filtre est bien incontournable.

    Autre point soit E un espace métrique ou toute suite de cauchy converge
    soit F un filtre de cauchy.
    pour tout n entier il existe un Xn de F de diamètre inférieur a 1/n
    soit xn un point de Xn,la suite xn est de cauchy et converge donc vers un point x
    On vérifie facilement que F converge vers x.



    Cordialement
  • corentinpasloggé
    corentinpasloggé
    En parlant de filtres, j'ai une petite question un peu hs: est ce que c'est une théorie vraiment nécessaire? Est ce qu'on l'utilise encore?
    Dans un bouquin utilisant les filtres, il m'avait semblé qu'à chaque fois qu'une définition était énoncée en terme de filtres le théorème juste après disait que c'était équivalent avec une définition utilisant les voisinages...
    Y a t'il des théorèmes qu'on ne sait pas démontrer autrement qu'avec des filtres?
  • marco
    marco
    Merci, Liautard.
    Corentin: le théorème de Tychonov (tout produit de compact est compact) se démontre assez simplement avec les filtres.
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Liautard: ok donc c'est un langage qui permet, par exemple, de remplacer le critere sequentiel de continuite pour un espace localement convexe. Donc si je comprends bien, dans la pratique savoir que les suites de Cauchy convergent ce n'est pas suffisant.
    Merci,
    Mauricio
  • bigmat
    bigmat
    Bonjour,
    J'ai une question par rapport à la précompacité.
    J'utilise la définition suivante d'ensemble précompact
    $\overline{A}$ est précompact si $\forall \epsilon >0, \exists$ un ensemble $P$ fini tel que $\overline{A} \subset \cup_{p \in P} B(p, \epsilon)$ .
    ($B(p, \epsilon)$ est la boule de centre p et de rayon $\epsilon$.)
    ($P$ est appelé epsilon-réseau fini de $\overline{A}$ )

    Si je trouve un epsilon-réseau fini ,disons $M$, de $A$ , est-ce que je peux affirmer que $\overline{M}$ est un epsilon-réseau fini de $\overline{A}$ ?
    Je peux passer à l'adhérence? Et ça reste un ensemble de cardinal fini? Ou bien $M$ convient aussi pour $\overline{A}$? merci
  • bigmat
    bigmat
    L'adhérence d'un ensemble fini c'est lui-même donc c'est ok pour l'exercice...
  • christophe c
    christophe c
    Alala que de topics où l'analyse non standard vous apporterait tant...

    Supposons que ton ensemble $A$ soit précompact et complet. Prenons un ouvert $W$ qui contient le zéro de ton EVT et qui est superpetit (cadire il est inclus dans tous les ouverts standards qui contiennent zéro).

    Soit $R$ un recouvrement ouvert de $A$

    pour tout $y\in A$ il existe un ouvert $U\in R$ tel que $y+W\subseteq U$

    (En effet, sinon, étant donné $y$ pour lequel ce ne serait pas le cas, l'ensemble standard qui contient exactement, comme parties standards, celles qui contiennent $y$ serait un ultrafiltre de Cauchy. Sa limite $b$ serait dans un certain ouvert $V$ standard de $R$, et comme $y+W\subseteq V$...).


    Par hypothèse, il existe un ensemble {\bf fini} $F$ inclus dans $A$ tel que la réunion des $x+W$, avec $x$ variant dans $F$ recouvre $A$. Chacun de ces $x+W$ étant inclus dans un élément de $R$, il y a un recouvrement fini de $A$ par des éléments de $R$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • brot0
    brot0
    Je voudrais répondre à Mauricio, je t'avoue que dans Bourbaki il y a des généralisations de notions qui ne servent pas toujours mais parfois c'est quand même utile, du genre leurs théorèmes démontrés sur des limites inductives de Fréchet ça sert quand tu fais des distributions, bon pour les structures uniformes je n'ai pas encore vu de vrais implications, toutefois j'ai un espace qui n'est pas complet dans lequel toute suite de Cauchy converge, tu prends un Banach réflexif et tu le munis de la topo faible, là tu vois une suite de Cauchy pour la structure uniforme donné par les formes linéaires continues va être faiblement bornée donc bornée pour la topologie de la norme d'après Banach-Steinhaus et donc inclus dans une boule qui est faiblement compacte car l'espace est réflexif, la suite a donc une valeur d'adhérence, et de Cauchy donc convergente vers cette valeur ( elle ne peut être qu'unique).
    Maintenant faut trouver un filtre de Cauchy qui ne converge pas, j'en ai trouvé un mais là je m'en souviens plus, je crois qu'il faut prendre une suite libre du dual topo dont la norme duale tend vers 0 et prendre comme filtre le truc engendré par les 0 communs d'un nombre finis de ces formes linéaires. Faut juste montrer que c'est une base de filtres càd que l'intersection de deux de ces ensembles est non vide et après on voit que ce filtre n'a pas de points adhérents. Je suis pas sûr mais je crois que c'est ça, Bourbaki donne un exemple mais c'est un espace qui est construit pour, que tu ne rencontres pas naturellement, j'avoue que je ne vois pas trop à quoi ça sert de faire de la complétude dans des non métriques mais il doit bien y avoir des applications.
  • brot0
    brot0
    En fait c'est plutot l'image réciproque de quelque chose différent de 0 comme 1 par exemple sinon c'est clair qu'il y a le vecteur nul dans l'adhénce du filtre.
  • christophe c
    christophe c
    je vais écrire un petit texte d'initiation à l'analyse non standard qui se trouvera au lien suivant
    http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/istnelson.php
    dès qu'il sera prêt (dans 30mn je pense)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • fadel0
    fadel0
    montrer qu'un espace complet et précompact est compact
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