espaces topologiques "presque" métrisables

Je propose une solution pour $\mathbf{R}$ : je prends pour ouverts les complémentaires d'intervalles du type $] - \infty , a [\, \cup I_0 \cup \left( I_1 \cup \ldots \cup I_r \cup \ldots \right) \cup\, ]b , + \infty [$, avec $a \leq b$ des réels, et $\{ I_0 ,\ldots, I_r, \ldots \}$ sont un ensemble dénombrable d'intervalles ouverts contenus dans $]a,b[$. Trois précisions :
\begin{enumerate}
\item le cas $a=b$ est possible, auquel cas l'ouvert est le complémentaire d'un point. \\
\item j'autorise $r=-1$ auquel cas il n'y a pas d'intervalle ouvert dans $]a,b[$, c'est-à-dire que l'ouvert est $] - \infty , a [\, \cup\, ]b , + \infty [$. \\
\item Je rajoute $\mathbf{R}$ et le vide.
\end{enumerate}
Le propriété de $L$-separation est claire, il suffit pour $a \in \mathbf{R}$ de prendre $U_n = ] - \infty , a - n [\, \cup\, ]a - 1/n , a + 1/n [\, \cup\, ]a + n , + infty [$. Pour la propriété de compacité, si $\cup_n \Omega_n = \mathbf{R}$ alors supposons que $\Omega_0$ contienne $] - \infty , a [\, \cup\, ]b , + \infty [$, il reste donc à couvrir $[a,b]$ qui lui est compact. Donc il est couvert par un nombre fini de $\Omega_n$ pour $n \geq 1$.

Pour le cas général je pose une question au préalable, dont je ne sais pas si elle est utile : peut-on mettre une relation d'ordre total sur un ensemble de n'importe quel cardinal ?

Alors je propose ça : une fois ma relation de bon ordre {\bf{choisie}},

1) je {\bf{choisis}} une partition $(P_{i})_{i \in I}$ de ton ensemble en sous-ensembles équipotents à $\mathbf{R}$ et disjoints deux à deux (ceci dans le cas où le cardinal est superieur ou égal à $\aleph^0$ ce qu'on suppose d'emblée) ;

2) pour chaque $P_{i}$ je {\bf{choisis}} une bijection $\phi_i $ préservant l'ordre avec $\mathbf{R}$ muni de l'ordre usuel (ou comme tu l'as dit, avec $\left[ 0,1 \right]$) ;

3) puis je prends pour ouverts le vide, l'ensemble tout entier, et toutes les unions disjointes $^{c}P_{i} \amalg \Omega$, où $\Omega \subset P_i $ est un ouvert pour la topologie "L-bonne" construite sur $\mathbf{R}$ et qu'on transporte sur $P_{i}$ grâce à la bijection $\phi_i $.

Les axiomes d'une topologie m'ont l'air verifiés (et c'est la que l'hypothèse de partition du 1) est importante, pour vérifier qu'une union quelconque d'ouverts est ouverte). Les propriétés de $L$-séparation et $L$-compacité découlent du cas de $\mathbf{R}$. Je ne me suis pas privé d'utiliser l'axiome du choix comme tu m'y as autorisé.