Lemme de "Foys"
dans Topologie
{\it ...on peut utiliser le lemme suivant: Si $U$ et $V$ sont des
ouverts connexes de $\R ^n$ dont l'union est $\R ^n$ alors leur intersection est connexe}
Voilà: je viens de citer un certain foys (pseudo non pérenne).
Quelqu'un pourrait-il avoir la gentillesse d'en donner (si possible) une démonstration "soignée" et irréfutable?
ouverts connexes de $\R ^n$ dont l'union est $\R ^n$ alors leur intersection est connexe}
Voilà: je viens de citer un certain foys (pseudo non pérenne).
Quelqu'un pourrait-il avoir la gentillesse d'en donner (si possible) une démonstration "soignée" et irréfutable?
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Réponses
H^1(R^n)=0, donc la suite exacte de Mayer-Vietoris est: 0->H^0(R^n)->H^0(U)xH^0(V)->H^0(U inter V)->0. Or H^0(X) est de dimension 1 ssi X est connexe, et c'est le cas ici, bref U inter V est connexe