Classique de Calcul différentiel
Bonjour,
J'éprouve quelques difficultés dans un exercice de calcul différentiel assez basique :
$E \mbox{ et } F \mbox{ sont deux espaces vectoriels normés et } U
\mbox{ un ouvert de } E.$
$G= \{ f \in C^1 (U,F) : f \mbox{ et } df \mbox{ bornees sur U}
\}$
$\| f \|_G = \| f \|_{\infty} + \| df \|_{\infty}$\\
$\mbox{On définit } e: G \times U \longrightarrow F \, \, : \, \, (f,x) \longmapsto f(x)$
$$\mbox{La question est de montrer que } e \in C^1 (G \times U)$$
$\mbox{Après avoir montré que ses differentielles partielles } d_1e \mbox{ et } d_2e \mbox{
existent et que } d_1e \mbox{ est continue,}$
$\mbox{je bloque sur la démonstration de la continuité de }
d_2e.$\\
$g \in G, \, y \in U, \, \, d_1e_{(f,x)}(g)=g(x) \mbox{ et }
d_2e_{(f,x)}(y)=df_x(y)$\\
$(f_0, x_0) \in G\times U, \, \, \, \mbox{Soit } \epsilon > 0.
\mbox{ Je cherche un } \eta \mbox{ tel que :}$
$$\| (f-f_0, x-x_0) \|_{E \times F} \leq \eta \, \,
\Longrightarrow \, \, \| d_2e_{(f,x)}(y)-d_2e_{(f_0,x_0)}(y) \|_{
\mathcal{L} (U,F)} < \epsilon$$
$$\mbox{Il suffirait que } \|df_x(y)-df_{_0x_0}(y) \|_F < \epsilon \| y \|_E $$
Merci pour votre aide !
J'éprouve quelques difficultés dans un exercice de calcul différentiel assez basique :
$E \mbox{ et } F \mbox{ sont deux espaces vectoriels normés et } U
\mbox{ un ouvert de } E.$
$G= \{ f \in C^1 (U,F) : f \mbox{ et } df \mbox{ bornees sur U}
\}$
$\| f \|_G = \| f \|_{\infty} + \| df \|_{\infty}$\\
$\mbox{On définit } e: G \times U \longrightarrow F \, \, : \, \, (f,x) \longmapsto f(x)$
$$\mbox{La question est de montrer que } e \in C^1 (G \times U)$$
$\mbox{Après avoir montré que ses differentielles partielles } d_1e \mbox{ et } d_2e \mbox{
existent et que } d_1e \mbox{ est continue,}$
$\mbox{je bloque sur la démonstration de la continuité de }
d_2e.$\\
$g \in G, \, y \in U, \, \, d_1e_{(f,x)}(g)=g(x) \mbox{ et }
d_2e_{(f,x)}(y)=df_x(y)$\\
$(f_0, x_0) \in G\times U, \, \, \, \mbox{Soit } \epsilon > 0.
\mbox{ Je cherche un } \eta \mbox{ tel que :}$
$$\| (f-f_0, x-x_0) \|_{E \times F} \leq \eta \, \,
\Longrightarrow \, \, \| d_2e_{(f,x)}(y)-d_2e_{(f_0,x_0)}(y) \|_{
\mathcal{L} (U,F)} < \epsilon$$
$$\mbox{Il suffirait que } \|df_x(y)-df_{_0x_0}(y) \|_F < \epsilon \| y \|_E $$
Merci pour votre aide !
Réponses
-
$d_2e$ est peut-être linéaire en $f$ ?
-
En effet $d_2e$ est linéaire en $f$, il ne reste donc qu'a majorer sa norme d'application linéaire...
1ere question : est-ce que $df$ bornée sur $U$ et linéaire est alors forcément continue ?
2eme question : En admettant cet obstacle franchi et la continuité de $d_2e$ montrée en $f$, elle n'est en revanche pas linéaire en $x$ donc je ne sait vraiment pas comment m'y prendre pour conclure...
Merci pour vos réponses -
1re question : non, il faut bien sûr utiliser le fait que $f$ est de classe $\mathcal C^1$.
2e question : on a une application $d_2e:(f,x)\mapsto df(x)$ linéaire par rapport à $f$, continue par rapport à $x$, avec des paramètres de continuités en $x$ qui ne dépendent que de $\|f\|$ (et non de $f$ en toute généralité). Il est possible d'en déduire la continuité de $d_2e$: comment démontre-on la continuité d'un produit ? -
Je ne comprends toujours pas...
$d_2e_{(f,x)}$ est une differentielle partielle donc définie comme suit :
$d_2e_{(f,x)} : U \rightarrow \mathcal{L} (U,F)$
$y \longmapsto d_2e_{(f,x)}(y) = df_x(y)$
Maintenant on doit considérer ses applications partielles,
petit résumé :
$f \longmapsto df_x$ qui elle est linéaire en $f$
$y \longmapsto df_x(y)$ linéaire en y par définition de la différentielle et continue parceque $f$ est $\mathcal C^1$ je l'avais presque oublié...
$x \longmapsto df_x$ n'est pas linéaire
Donc pour conclure je dois montrer que $f \longmapsto df_x$ est continue en $f$ et que $x \longmapsto df_x$ est continue en $x$
Je trouve cet exercice (soit-disant classique !) plutôt difficile, en tout cas pour ce qui concerne cette différentielle partielle... Qu'est-ce que sa doit être avec des applications plus complexes ??!!
Ou bien je dis des bêtises ou alors un détail évident m'échappe... Peau de saucisson devant les yeux ?
En tout cas merci beaucoup pour votre aide ! -
Bonjour
Je crois qu'il serait bien de revenir aux définitions de la différentiabilité. On considère une application $e:G\times E\to F$ (sans préciser pour l'instant de qui il s'agit).
{\bf Définition 1:} $e$ est différentiable en un point $(f,x)$ si il existe une application linéaire continue (nécessairement unique), que l'on note $\mathrm{d}e_{(f,x)}:G\times E\to F$ telle que, lorsque $\|h\|_G$ et $\|y\|_E$ tendent vers $0$, on a:
$$e(f+h,g+x)=e(f,x) + \mathrm{d}e_{(f,x)}(h,k) + \mathrm{o}\big(\|h\|_G+\|y\|_E\big)$$
{\bf Proposition 2:} si $e$ est différentiable en $(f,x)$, alors $e(\cdot,x):E\to F$ est différentiable en $f$, et on note $\mathrm d_1e_{(f,x)}$ sa différentielle (idem avec l'autre variable)
{\bf Définition 3:} $e$ est de classe $\mathcal{C}^1$ si l'application $\mathrm{d}e:(f,x)\mapsto \mathrm{d}e_{(f,x)}$ est continue de $G\times E$ dans $\mathcal{L}(G\times E, F)$.
{\bf Proposition 4:} si $\mathrm{d}_1e_{(f,x)}$ et $d_2e_{(f,x)}$ existent pour tout $(f,x)$, et si les applications $\mathrm{d}_ie:(f,x)\mapsto \mathrm{d}_ie_{(f,x)}$ sont toutes les deux continues {\em sur le produit} $G\times E$, alors $e$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $G\times E$.
Quelles définitions et propositions ci-dessus cherches-tu à utiliser dans ton raisonnement (ou bien y en a-t-il d'autres) ? -
bonjour
pour ce qui est de $x \longrightarrow df_x$, cette application est bien continue car f est $C_1$. En effet si |||.||| représente la norme d'opérateur :
$|||df_{x+h}-df_x|||< ||h||.||f||_G$
ENsuite tu utilises la linéarité de $f \longrightarrow df$ pour te ramener en 0. Tu prends alors une suites de fonctions de G dont les normes tendent vers 0 (norme dans G biensur). Alors on a : $|||df_n|||<||f_n||_G$ et donc les $df_n$ tendent bien vers 0 qui est la différentielle de l'application nulle.
Bon ca fait longtemps que j'ai pas mis le nez dans ce genre d'exo donc j'ai peut-être raconter nawak... Si jean pouvais confirmer ou infirmer ce que je viens d'écrire. En fait ce qui me parait bizarre, c'est qu'en utilisant le fait que la norme de f dans G est toujours supérieure à la norme d'opérateur de f et à celle de df (le sup ne se fait plus seulement sur les éléments de norme 1 mais sur tous) donne quasiment tout ce qu'il faut...
Affaire à suivre
t-mouss -
Ce qui ne me paraît pas juste, c'est qu'il ne faut pas montrer que pour toute $f$, l'application $x\mapsto \mathrm{d}f_x$ est continue [ce qui, au passage ne serait pas à montrer, car c'est exactement la définition du fait que $f$ est $\mathcal{C}^1$], mais qu'il faut montrer que l'application $(f,x)\mapsto \mathrm{d}f_x$ est continue.
-
J'utilise la Proposition 4 et j'ai déja complété les premières étapes qu'elle demande :
Les differentielles partielles de $e$ cad $d_1e_{(f,x)}$ et $d_2e_{(f,x)}$ existent,
$d_1e_{(f,x)}$ est continue,
Je bloque sur la démonstration de la continuité de $d_2e_{(f,x)}$.
Mon raisonnement est le suivant :
Si $\forall \epsilon >0 \, \, \exists \eta$ tel que :
$\|f-f_0\|_{_G}<\eta$ et $\|x-x_0\|_{_F}<\eta$ entraîne $\| d_2e_{(f,x)}-d_2e_{(f_0,x_0)} \|_{_{\mathcal{L}(U,F)}}< \epsilon$
Alors $d_2e_{(f,x)}$ serait continue en $(f_0,x_0)$
Or $d_2e_{(f,x)}=df_x$ car $e$ est la fonction application
Donc je cherche un $\eta$ tel que $\|df_x-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(U,F)}} < \epsilon$
J'ai dit une bétise dans mon 3eme post, il faut lire $d_2e_{(f,x)} : U \rightarrow F$ et non $d_2e_{(f,x)} : U \rightarrow \mathcal{L} (U,F)$ -
Reprenons :
$y \longmapsto df_x(y)$ linéaire en $y$ par définition et continue en $y$ parceque $f$ est $\mathcal C^1$
$x \longmapsto df_x$ n'est pas linéaire en $x$ mais est continue $\forall f$
$f \longmapsto df_x$ est linéaire en $f$
Donc en fait il n'y a plus qu'a montrer que $f \longmapsto df_x$ est continue pour assurer l'existence de mon $\eta$ par inégalités successives ?
A-t-on
$x \longmapsto df_x$ continue en $x$ $\forall f$ $\stackrel{?}{\Longleftrightarrow}$ $f \longmapsto df_x$ continue en $f$ -
TigerFou, on ne peut pas se contenter de manipulation formelles [composition, décomposition, etc]: il faut mettre un peu la main à la patte et estimer (en calculant explicitement) la différence $\mathrm{d}e(f+h,x+y)-\mathrm{d}e(f,x)$ dans $\mathcal{L}(G\times E,F)$ et montrer que ceci est suffisamment petit lorsque $h$ er $y$ le sont...
-
Bonjour,
Si cela interesse quelqu'un voici la rédaction rigoureuse (je l'espère) de la continuité de $d_2e$ en $(f_0, x_0)$ :
Soit $\epsilon >0$
$\|f-f_0\|_{_G}<\eta$ et $\|x-x_0\|_{_E}<\eta$
$\| d_2e_{(f,x)}-d_2e_{(f_0,x_0)} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}= \| df_x-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$
$=\| df_x-df_{_0x}+df_{_0x}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$
$\leq \| df_x-df_{_0x} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}} + \| df_{_0x}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$
$= \| d(f-f_{_0})_x \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}} + \| df_{_0x}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$
$\leq \| d(f-f_{_0}) \|_{_\infty} + \| df_{_0x}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$
$\leq \| f-f_{_0} \|_{_G} + \| df_{_0x}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$
$< \eta + \| df_{_0x}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$
$df_{_0}}$ continue en $x_0$ donc $\exists \eta_1 > 0$ tq $\|x-x_0\|_{_E}<\eta_1 \Longrightarrow \| df_{_0x}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}} < \epsilon$\\
On pose $\eta= min(\eta_1, \epsilon)$ et la continuité est assurée.
Ce n'était en fin de compte pas sorcier, la seule subtilité consistait à décomposer $\| df_x-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$ en $\|df_x-df_{_0x}+df_{_0x}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$ et non pas en $\|df_x-df_{x_0}+df_{x_0}-df_{_0x_0} \|_{_{\mathcal{L}(E,F)}}$ car dans ce cas $\eta_1$ dépend de $x_0$ et on ne peut conclure...
Merci tout même pour votre aide
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Bonjour!
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