Distance atteinte

Je considère $E$ l'espace vectoriel des suites $x = (x_n)$ de réels de limite nulle, muni de la norme usuelle $\Vert x \Vert = \sup\limits_n \vert x_n \vert$.

C'est un espace de Banach sur lequel la forme linéaire définie par $f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{-n}x_n$ est continue et non nulle ; ainsi $H = \textrm{Ker}\,f$ est un hyperplan fermé de $E$.

Si $x$ n'est pas élément de $H$, la distance $d(x,H)$ n'est pas atteinte.

Note pour $AD$ : Merci de laisser mes "Ker" avec une majuscule, j'ai horreur des "ker" avec une minuscule (idem pour "Im" en cas de besoin)
[Il suffisait de le dire. AD]

Bonjour Aurélien,

Puisque gb ne te répond pas (il a trop de réponses à donner).

Soit $x\in E$ tel que $x\notin H$ et supposons qu'il existe $z \in H$ tel que
$0 < \Vert x-z \Vert= inf _{y\in H} \Vert x-y \Vert$ .

Posons $u=x-z$ et $a =\Vert u\Vert>0$. Puisque $u_n \rightarrow 0$, il existe $n$ tel que, si $k>n$ on a $\vert u_k \vert <a/2$. Soit $\alpha>0$ assez petit pour que $(2-2^{-n})\alpha < 2^{-n-2}a$.

Pour $k=0,..,n$ , on peut choisir $y_k$ tel que $\vert y_k \vert <\alpha$ et $\vert u-y_k \vert < a$. Posons $b= \sum_0^n y_k2^{-k}$. On a $\vert b\vert < 2^{-n-2}a$. On pose $y_{n+1}= - 2^{-n-1}b<a/2$ et , pour $k\geqslant n+2$, $y_k=0$. On définit ainsi $y \in H$ tel que $\Vert u-y \Vert<a$. Contradiction.

Amicalement,
Georges

Bonjour,

Je me permet de relancer le sujet puisque je suis à la recherche d'un contre-exemple similaire.

Auriez-vous un exemple d'espace préhilbertien réel E (non complet ... ) pour lequel il existe un sous-espace vectoriel fermé F et e un élément de E tels que la distance d(e,F) ne soit pas atteinte.

Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement.

On peut par exemple considérer le sous-espace vectoriel $E$ de $\ell^{2}$ engendré par la suite $v=(1,1/2,1/3,...)$ et les suites finies (donc valant 0 à partir d'un certain indice). On voit facilement que $E$ n'est pas complet, il est donc préhilbertien.

On considère ensuite le sous-espace fermé $F$ de $\ell^{2}$ des suites qui valent $0$ sur les indices pairs (exemple : $(0,1/2,0,1/4,0,1/6,...)$). Alors $F\cap E$ est fermé dans $E$ et la distance $d(v, F\cap E)$ n'est pas atteinte.

En effet, si $d(v, F\cap E)$ était atteinte, la projection orthogonale (dans $\ell^{2}$) de $v$ sur $F$ appartiendrait à $F\cap E$ ce qui n'est pas le cas.

Remarque : la projection orthogonale (dans $\ell^{2}$) de $v$ sur $F$ est $(0,1/2,0,1/4,0,1/6,...)$

En espérant qu'il n'y ait pas d'erreurs.

PS. je ne sais pas si on peut faire plus simple...

@christophe c oui effectivement et vu qu'on est vendredi et que c'est le week-end on va le faire.

Aurelien_Viking a écrit:

Auriez-vous un exemple d'espace préhilbertien réel E (non complet ... ) pour lequel il existe un sous-espace vectoriel fermé F et e un élément de E tels que la distance d(e,F) ne soit pas atteinte.

Oui Aurelien_Viking tu auras ta réponse complète 4 ans après avoir posé ta question, car, tiens-toi bien, tous les espaces $E$ préhilbertiens réels non complets vérifient cette propriété X:-( (c'est passionnant...).
Pour le montrer on va utiliser le résultat suivant (craché tel quel).

Si $\varphi: E\rightarrow \mathbb{R}$ est une forme linéaire continue alors $$\forall u \in E, \displaystyle d(u, \ker\varphi)=\frac{|\varphi(u)|}{\|\varphi\|}.

$$ Remarquons que si $\varphi \neq 0$ est comme ci-dessus et $u\in E\setminus\ker\varphi$ alors dire que $d(u,\ker\varphi)$ est atteinte signifie qu'il existe $v\in \ker\varphi$ tel que $\|u-v\|=d(u,\ker\varphi)$, alors on a $\displaystyle\|u-v\|=\frac{|\varphi(u-v)|}{\|\varphi\|}$ et donc $\displaystyle \|\varphi\|= \frac{|\varphi(u-v)|}{\|u-v\|}$, ce qui montre que $\varphi$ atteint sa norme sur la sphère unité.

Par suite il suffit de trouver un $\varphi$ qui n'atteint pas sa norme sur la sphère unité pour prouver que quelque soit $u\in E\setminus\ker\varphi$, $d(u,\ker\varphi)$ n'est pas atteinte.
Mais trouver un tel $\varphi$ n'est pas si compliqué... Soit $H$ le complété de $E$ ($H$ est donc un Hilbert) et $h\in H\setminus E$. La forme linéaire $$\varphi: E\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \langle x,h\rangle$$ fait justement l'affaire !

Voilà Aurelien_Viking tu as eu ta réponse... et je comprends maintenant pourquoi personne ne t'a répondu en 4 ans :-D (écrire tout ce latex m'a crevé).

christophe c a écrit:

Se fatiguer à prouver un $\exists$ n'est pas un bon guide si tu n'envisages pas avant un $\forall$

Je me suis plus fatigué avec le $\forall$.
PS. je ne sais pas si on peut faire plus simple...

Bonjour,

Tout d'abord un grand merci raoul.S c'est très instructif.

Je pense que Aurelien_Viking n'est plus membre du forum, ce serait drôle qu'il voit ce post un jour :-D ! Dans tout les cas lorsque d'autres personnes chercherons des informations sur internet ce post leurs sera très utile donc ce n'est pas perdu.

La réponse est oui, j'ai trouvé ^^.

Gentil a écrit:

...un grand merci raoul.S...

De nada.