la topologie limite inférieure de R...

Salut,

Rien compris. De quelle topologie parles-tu ? Celle engendrée par les intervalles $]a,b]$ ? Si c'est bien celle-ci :
- Quelle différence entre un singleton rationnel et un singleton quelconque dans une topologie invariante par translation ?
- Qu'est-ce qui te fait dire qu'elle ne satisfait pas à cet axiome ? J'ai l'impression (peut-être à tort) qu'elle engendrée par les $]r,s]$ où $r,s \in \Q$.

Bonsoir

Je ne sais pas vous êtes comme moi, mais je n'arrive pas à accéder au message d'Aleg !
Peut_être qu'en postant un autre message derrière (celui-ci) cela va se réparer ?

Alain

[Non ! Et le message d'Aleg semble définitivement disparu :-(. Aleg peux_tu reposter ton message ? AD]

Je l'ai posté deux fois car moi aussi je ne l'avais pas vu apparaître..
Il y a donc des trous noirs sur ce forum..

Bon c'est pas grave, de toute façon, ce que j'avais à dire n'était pas inoubliable..
Mais comme je n'ai pas le courage de tout retaper, voilà le sommaire.. :
- la "lower limit topology" de $\R $ a pour base les $[a;b[$.
- muni de cette topologie, $\R $ ne vérifie pas le deuxième axiome de dénombrabilité (dudu a raison sur ce point).
- dans cette topologie, les singletons ne sont jamais ouverts (donc, là, il a tort).

"à tous les coups ça doit être dans le Steen-Seebach" : oui, page 75.

Ah super merci beaucoup Aleg ! Ca m'évite d'aller chercher au fond d'un carton (je suis en cours de déménagement et j'ai déjà emballé la plupart de mes bouquins de maths).

Merci, je m'en lèche les babines d'avance 8-)

Salut CC,

En fait des gens (notamment Aleg et Oump je crois) ont à une époque fait du hard lobbying pour ce bouquin (Counterexamples in Topology) en disant qu'il était très chouette, qu'il coûtait seulement 10 euros, etc. donc j'ai fini par craquer (je pense que je ne suis pas le seul) et j'ai aussi acheté son petit frère (Counterexamples in Analysis), et je ne le regrette pas.

Un espace topologique vérifie le deuxième axiome de dénombrabilité (second countable space in the langue of Shakespeare) si et seulement s'il admet une base dénombrable d'ouverts.

Merci Aleg et Egoroff

si on prend 2 intervalles de la forme $[a,b[$ leur intersection est encore de cette forme

Donc les ouverts sont les réunions de tels intervalles (réunions dénombrables). Soit $U_n$ des ouverts que sans perte de généralité (à justifier) on peut supposer de la forme $[a_n,b_n[$, et soit $c\neq$ tous les $a_n$

Soit $x>c$. Si $[c,x[$ était réunion d'ouverts $U_n$, il y aurait un problème avec $c$: auquel des $U_n$ appartiendrait-il?

Euh non en fait pas d'accord, enfin ce n'est pas aussi simple. Les ouverts peuvent être de la forme $]a,b[$ par exemple.

Bah c'est un "without loss of generality" lol, enfin pour le bouquin je sais pas, mais pour moi, si!

Mais pour précisément cette topologie-là

Un ouvert est une réunion d'intersections finies de la base. Il semble donc que ce soit une réunion d'ouverts-base (cause 3 posts plus haut). Or il semble qu'une telle réunion, quelle qu'elle soit, soit égale à une réunion dénombrable d'ouverts-base...

Cela dit, je n'ai rien justifié! Je dois ABSOLUMENT aller au lit, (sinon, déjà que j'ai une gastro, demain je vais galérer)

OK ça y est j'ai compris (je suis bouché mais je me soigne). Il y avait deux étapes implicites que je n'avais pas décodées : 1) tout ouvert est réunion dénombrable de la base et 2) ça permet étant donné une base dénombrable d'en déduire une sous-base dénombrable de la base "de base" Merci christophe et gb.

Bon j'aimerais quand même savoir si ma proposition est vraie, je vais me lancer dans une tentative de démo vu qu'elle a l'air vraie dans $\R$ euclidien et pour la lower limit topology.

remarque,

Je détaille ma réponse.

Tout intervalle non vide $[a,b[$ contient un rationnel, donc $\Q$ est dense dans $\R$ pour la topologie de la limite inférieure.

Soit $r$ un rationnel, et $\{[a_i,b_i[ : i \in I\}$ un ensemble d'intervalles semi-ouverts, qui contiennent $r$, d'union $U$.
Pour la topologie usuelle, les $[a_i,b_i[$ sont connexes et admettent un point commun, $U$ est connexe : c'est un intervalle d'extrémités $a = \inf (a_i : i \in I)$ et $b = \sup (b_i : i \in I)$, qui peuvent être finies ou non. $a$ peut appartenir ou ne pas appartenir à $U$, alors que $b$ ne peut pas appartenir à $U$, d'où six cas :
\begin{itemize}
\item si $a=-\infty$ et $b=+\infty$, alors $\displaystyle U = \bigcup_{n\in\N} [-n,n[$ ;
\item si $a=-\infty$ et $b$ est fini, alors $\displaystyle U = \bigcup_{n\in\N} [-n,b[$ ;
\item si $a$ est fini, élément de $U$, et $b=+\infty$, alors $\displaystyle U = \bigcup_{n\in\N} [a,a+n[$ ;
\item si $a$ est fini, élément de $U$, et $b$ fini, alors $U = [a,b[$ ;
\item si $a$ est fini, non élément de $U$, et $b=+\infty$, alors $\displaystyle U = \bigcup_{n\in\N} [a+e^{-n},a+n[$ ;
\item si $a$ est fini, non élément de $U$, et $b$ fini, alors $\displaystyle U = \bigcup_{n\in\N} [a+be^{-n},b[$ ;
et l'on voit que $U$ est toujours réunion dénombrable d'intervalles semi-ouverts.

Si $U$ est un ouvert quelconque de $\R$ pour la topologie de la limite inférieure, il est réunion quelconque d'intervalles semi-ouverts $\{[a_i,b_i[, i \in I\}$.
Pour tout rationnel $r$, $\displaystyle U_r = \bigcup_{\{i\in I, r \in [a_i,b_i[} [a_i,b_i[$ est réunion dénombrables d'intervalles semi-ouverts, et il en est de même de $\displaystyle U = \bigcup_{r\in\Q} U_r$.

egoroff,

C'est finalement vrai : si X admet une base dénombrable d'ouverts, alors de toute base d'ouverts, on peut extraire une base dénombrable d'ouverts.

egoroff,

$\mathcal{B}$ est une base d'ouverts de $X$, $\mathcal{B}'$ est une base dénombrable d'ouverts.
Soit $U$ un ouvert élément de $\mathcal{B}'$, il est réunion d'une famille $\mathcal{B}_U$ d'ouverts éléments de $\mathcal{B}$.
Chacun des ouverts $V$ éléments de $\mathcal{B}_U$ est réunion d'une famille $\mathcal{B}'_V$ d'ouverts éléments de $\mathcal{B}'$.
On a alors
$$\displaystyle U = \bigcup_{V\in\mathcal{B}_U} V = \bigcup_{V\in\mathcal{B}_U} \bigcup_{W\in\mathcal{B}'_V} W$$
Mais comme les ouverts qui interviennent dans cette réunion sont dans $\mathcal{B'}$, il n'y en a qu'une infinité dénombrable et on peut réécrire $\displaystyle U = \bigcup_{n\in\N} W_n$.
Chaque $W_n$ appartient à au moins une famille $\mathcal{B}'_V$, c.-à-d. est contenu dans un ouvert $V$ de $\mathcal{B}_U$. Par l'axiome du choix dénombrable, on peut affecter à chaque $W_n$ un ouvert $V_n$ de $\mathcal{B}_U$, donc de $\mathcal{B}$ qui le contienne.
Alors
$$\displaystyle U = \bigcup_{n\in\N} W_n \subset \bigcup_{n\in\N} V_n \subset \bigcup_{V\in\mathcal{B}_U} V = U$$
et $U$ est réunion dénombrable d'ouverts de $\mathcal{B}$.

Tout ouvert de $\cal{B}'$ est réunion dénombrable d'ouverts de $\mathcal{B}$

Tout ouvert de $X$ est réunion dénombrable d'ouverts de $\mathcal{B}'$, donc union dénombrable d'unions dénombrables d'ouverts de $\mathcal{B}$.

Ouf !!