une hésitation cruciale et irréductible?

christophe c
christophe c
dans Topologie
Ca peut apparaitre trivial, ou/et philosophique. Les réflexions <a href="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?14,file=7698">"en cours"</a> de G F, révélant, en passant, une instrospection à laquelle on assiste "en ligne", synthétisées <a href="http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?14,file=7703">par Michel Coste ici</a>, font "remonter" je trouve un mystère pas si simple à gérer:


Je ne sais plus dans quel livre j'avais vu (voir peut-être l'avais-je acheté) les premières manifestations de ça: je crois que c'était dans "le paradoxe de Banach-Tarski" un livre de je ne sais plus qui ne traitant que de ça.

Et, en gros, ça devait commencer par un lemme (qui, vue la suite, ne pouvait guère être "retenu") qui consistait à mettre le smains dans le cambouis en montrant qu'un découpant, par exemple, un triangle (ou un quadrilatère) (ou les équivalents en 3D) fermé avec son intérieur, on pouvait le découper en morceaux et le recomposer de manière à obtenir son intérieur seul.

Vu que les 2 ensembles, dans ce cadre ont la même mesure, ça n'était pas un paradoxe.

Par ailleurs, "négliger" les petits détails de bordures (autoriser qu'ils se chevauchent, etc), les considérer comme "nuls" eut plus qu'amplement émoussé l'intérêt du paradoxe de Banach Tarski...

Voilà bien le genre de "chienlit" qui a l'air pure corvée et qui pourtant veut peut-être dire quelque chose de profond.

Au post suivant, je dis (en latex) le "mystère" un peu central qui me semble émerger de ce phénomène
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Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Intuitivement, il y a 3 affirmations-axiomes-dogmes qui sautent à l'esprit... et qui sont contradictoires (si le monde est infini):

    1) La projection d'un solide sur une dimension donne un connexe (donc un truc du genre intervalle (ouvert ou fermé), là est la question

    2) (à mettre avant (1) en fait)Les points occupés par le "solide" sont équivalents aux éléments constitutifs du solide (ce qui autorise à le considérer comme une partie de l'espace)

    3) 2 solides ne pouvant pas s'interpénétrer, les photos instantanées de leur ensemble sous-jacent (voir (2) ci-dessus) les montrent comme disjoints. De plus quand ils sont en contact, il n'y a {\bf aucun} point (qui serve d'espace vide) entre leur bord.


    Oulala que tout cela semble obscur.

    Alors voilà:

    L'ombre d'un solide doit être un intervalle. Les ombres de 2 solides collés l'un à l'autre doivent être 2 intervalles disjoints (sinon, ils s'interpénètrent), et un genre de principe de symétrie imposent qu'ils soient tous deux ouverts aux 2 extrémités ou fermés aux 2 extrémités.

    Ils ne peuvent être qu'ouverts (fermés, ils partageraient l'extrémité de contact, le b ci-dessous), ce qui donne $]a,b[$ pour l'un et $]b,c[$ pour l'autre, et le point $b$ (aussi fin soit considéré un point) est un "espace libre" entre les 2 solides, ce qui contredit (3).

    Le "raisonnement" que je viens de faire s'applique à tout ordre dense, donc en particulier à $\R$


    Cela manifeste (si on admet les axiomes sous-jacents) qu'au fond, on a bien un raisonnement (tout bête) qui "démontre" la différence de nature entre "solide" et "espace occupé par le solide", ou pire encore l'inexistence de "vrais" solides"

    Suite, post suivant (cause latex et impatience pour chercher les erreurs de syntaxe)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Peut-on "diminuer" nos exigences de ce qu'on appelle un solide et l'espace occupé?

    Si on fait quelques concessions sur la notion de mouvement continu (ce qui est déjà beaucoup), à la rigueur peut-on espérer étudier un ordre (dense) dans lequel les solides ne se déplaceraient pas forcément continument, auraient des "ombres" (intervalles convexes) ouvertes, mais telles que "aucun point" ne pourrait venir se mettre entre les 2 quand ils sont en contact, ce qui donnerait:

    Chaque fois que 2 solides sont en contact, leur projection sur une dimension occupe 2 sous-ensembles $A$ et $B$ de la dimension $T$ en question (un ordre dense) tels que:

    1) $\forall x\in A, \forall y\in B: x<y$
    2) $\forall t\in T\exists a\in A\exists b\in B: t<a\ ou \ t>b$

    On se retrouve alors avec un certain nombre "d'interdictions"


    Par exemple que $A$ puisse avoir une borne supérieure (ou $B$ une borne inférieure), ce qui exclut la position du solide de gauche où $A=]..,v[$ par exemple, et donc exclut un énoncé de "valeurs intermédiaires", exclusion beaucoup plus impressionnante qu'au premier abord on peut la percevoir (qui n'a jamais vu un solide "glisser" {\it continument?} le long d'un axe?).

    Il serait raisonnable, peut-être, de rajouter une condition de "symétrie" (que tous les tels couples $(A,B)$ vérifient:

    {\it il existe 2 suites adjacentes $u$ à image dans $A$ et $v$ à valeurs dans $B$ qui "se rejoignent", ie $\forall x\in A\exists p\in \N x\leq u_n$, et idem dans l'autre sens avec $B$ et $v$}

    Une telle structure (de telles!!) (je parle du triplet $(T,<,\{(A,B)\ correctes\}$) est-elle étudiée, intéressante?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @l
    @l
    Comme ça à la louche, sans avoir regardé de plus près ce que tu demandes, tu devrais aller regarder du côté de l'o-minimalité.

    @l
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour Christophe.

    Il me semble qu'un certain nombre d'axiomes de la mécanique rationnelle peuvent être examinés de façon fructueuse.

    D'autre, j'ai peut-être lu trop rapidement, mais si l'ombre d'un solide est son image par une projection, comme les projections ne sont pas injectives, des solides disjoints peuvent avoir des images non disjointes.

    Je ne suis pas un spécialiste de mécanique (qu'est-ce que ça m'a rasé), mais on m'a appris qu'à la notion de solide on peut substituer celle de mouvement (d'un) solide c'est-à-dire un groupe à un paramètre de déplacements de l'espace.

    Bruno
  • christophe c
    christophe c
    ...des solides disjoints peuvent avoir des images non disjointes.

    Ca fait penser à des solides qui auraient des frontières "dentées"

    En fait, je ne pense pas que ce soit de la mécanique. C'est juste qu'il est notable qu'on peut "prouver" (formellement) ce "paradoxe" du solide (en dimension 1, là pas de projection)... Je suis ignare en mécanique, mais je pense que de toute façon, eux les mécaniciens ils s'en fichent un peu: s'ils représentent 2 trains qui "se cognent" en simplifiant par des rectangles, ça ne les gene pas qu'au moment du contact les rectangles (fermés) soient non vides.

    J'ignore si cette réflexion mène quelque part, mais sans la mécanique quantique ça laisse toujours les gens réveurs quand on leur apprend la quantité de "vide" qui nous constitue, et que pourtant nous ne "passons pas" à travers les sols de nos chambres. Or c'est très souvent par manque de temps qu'on ne pousse pas plus loin ces idées (elles ne sont pas académiquement "rentables")
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • bs
    bs
    Bonsoir,

    Ce livre, je l'avais emmené lors de mon récent voyage en Novembre; c'est le paradoxe de Banach-Tarski par Marc Guinot, chez Aléas;)

    Bonne nuit.
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