densité de cos(n²)

Il suffit de montrer que $\frac{n}{\pi}$ est irrationnel

[La case LaTeX. AD]

je tenterai de montrer quelquechose de plus fort (peut être complètement faux), du genre que $\{ n^2 \}$ est équidistribué modulo $2 \pi$. Il faudrait pour cela montrer que pour toute fonction $\2 pi$ périodique, disons continue, on ait:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac1 n\sum_1^n f(k^2) = \int_{[0;2 \pi]} f(x) dx$
Par densité des polynôme trigonométrique, il suffit de montrer que pour tout entier $m \geq 1$:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^n \exp(i m k^2) = \int_{[0;2 \pi]} \exp(i m x) dx = 0$
ce qui semble assez probable non ?

Comme Borde l'explique sur ce fil:
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,402079,402135#msg-402135}
on peut trouver de bonnes majorations pour la somme $\sum\limits_{k=1}^n \exp(i m k^2)$, ce qui permet de conclure normalement..

[Activation du lien. AD]

Soit $X$, l'ensemble des $n^2$ dans $\R/(2\pi\Z)$.
Soit $Y$ son adhérence.
$(n+1)^2-n^2=2n+1$ qui est dense dans $\R/(2\pi\Z)$.
Donc $X-X$ est dense dans $\R/(2\pi\Z)$.
Donc $Y-Y=\R/(2\pi\Z)$.
Si $\mu(Y)=0$, il me semble que $\mu(Y-Y)=0$ aussi.
Ce qui donnerait $\mu(Y)>0$.
Et $Y$ est stable par multiplication par $4$, car si $k$ est un carré, $4k$ aussi.

$\mu$ est la mesure de Lebesgue.
Mais ce que j'ai écrit est sans doute faux.
Il faudrait du renfort ;-)
Dans quel livre as-tu trouvé cet exercice ?

Modulo $2\pi\Z$, la suite $n^2$ admet un point d'accumulation $\ell$. Soit $n_i^2 \rightarrow \ell$ dans $\R/(2\pi\Z)$ avec $n_i \rightarrow \infty$ dans $\N$.

Donc on peut choisir $n_1,\ldots,n_k$ avec $|n_i^2-\ell|< \frac 1 k$ et $\frac{n_{i+1}}{n_i} > k$.
$\{(2n_1 t,\ldots,2n_k t)\in (\R/(2\pi\Z))^k \mid t \in \Z \}$ a pour adhérence
$E=\{(2n_1 t,\ldots,2n_k t)\in (\R/(2\pi\Z))^k \mid t \in \R \}$.

Et à mon avis la distance d'un point de $(\R/(2\pi\Z))^k$ à $E$ est plus petite que $\frac{2\pi}{k}$ vu que $\frac{n_{i+1}}{n_i} > k$.

Donc il existe $t \in \Z$ tel que la distance de $(2n_1 t,\ldots,2n_k t)$ à $(\frac{2\pi}{k},\frac{4\pi}{k},\ldots,2\pi)$ est plus petite que $\frac{2\pi}{k}$
Donc $(t+n_i)^2-t^2 = n_i^2+2n_i t$ est à peu près égal à $\ell +\frac{2i\pi}{k}$ donc
les $(t+n_1)^2,\ldots,(t+n_k)^2$ sont bien répartis.

non, l'équi-répartition est bien plus forte que la densité. Une suite $u_k$ est équirépartie dans $[0;2 \pi]$ si pour tout $a< b$ :
$\lim\limits_{n \to \infty} Card(k: k \leq n \textrm{ et } u_k \in [a;b]) = \frac{b-a}{ 2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \int_{[0;2 \pi]} 1_{[a,b]}(x)\mathrm dx$

Comme tu dois le savoir, il suffit de montrer que pour toute fonction continue $f$ (où même de classe $C^{\infty}$):
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n \sum\limits_{k \leq n} f(u_k) = \frac{1}{ 2 \pi} \int_{[0; 2 \pi]} f(x) \mathrm dx$
et même encore mieux, par densité des polynômes trigonométriques, il suffit de montrer que pour tout $m \geq 1$ :
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n \sum\limits_{k \leq n} \exp(i m u_k) = 0$

Or on sait qu'il existe une constante $0<\alpha_m< 1$ telle que :
$\sum\limits_{k=1}^n \exp(i m k^2) = o(n^{\alpha_m})$
d'où la conclusion.

Je dirais même plus: on a un théorème (théorème de Van der Corput je crois) qui dit que si pour tout h entier strictement positif la suite (u_(n+h)-u_n) est équirépartie alors la suite u_n est équirépartie (tout ça modulo 1). On en déduit aisément la densité de {cos(n^k)} dans [-1,1] pour tout entier k>=1.

Le document fourni par Alekk est à conserver.

A noter pour les amateurs de théorie analytique des nombres : le {\bf lemme 5} (appelé inégalité de Van der Corput) est un élément vital de ce que l'on appelle maintenant la {\it théorie des paires d'exposants}. En particulier, ce lemme implique le {\it procédé A} de Van der Corput, permettant, à partir d'une paire d'exposants donnée, d'en déterminer d'autres. La sommation de Poisson fournit le {\it procédé B}, et les combinaisons des deux procédés donnent des paires d'exposants de plus en plus précises.

C'est cette technique qui a été utilisée des années 30 à nos jours dans les problèmes suivants :

(i) Problème des diviseurs de Dirichlet,
(ii) Problème du cercle de Gauss,
(iii) Théorème de Piatestki-Shapiro,
(iv) Problème des entiers $k$-libres et $k$-pleins,
(v) Nombre de groupes abéliens d'ordre donné
(vi) Problème de diviseurs généralisés,
etc.


Borde.