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[Résolu]Compact_adhérence_suite extraite

Envoyé par denebe 
[Résolu]Compact_adhérence_suite extraite
il y a dix années
Bonjour,

Je me posais la question suivante : si K est un compact, (xn) une suite de K et "a" une valeur d'adhérence de la suite (xn), existe-t-il forcément un sous-suite de (xn) convergent vers "a" ?

Si K est compact métrique (ou bien si chaque point de K possède un système fondamental dénombrable de voisinages) la réponse est oui, car dans un espace métrique, un point est adhérent à un ensemble si et seulement s'il existe une suite de cet ensemble convergent vers ce point.

Dans un espace quelconque, un point "p" peut adhérer à un ensemble sans pour autant qu'il existe de suite de cet ensemble convergent vers "p". (c.f. espace de Arens-Fort). Ici, je comprends bien qu'il est question de valeur d'adhérence d'un ensemble et que ma question porte sur la valeur d'adhérence d'une suite, mais ça m'interroge quand même. Alors dans le cas où K est compact quelconque, qu'en pensez-vous, existe-t-il forcément une sous-suite convergent vers "a" valeur d'adhérence d'une suite (xn) de K ?

Merci de votre attention,
Denebe. :)

EDIT: j'ai lu d'autres posts sur ce sujet, aussi je vais compléter (préciser) ma question par une seconde question: existe-t-il des espaces compacts non métrique ou ne possédant pas de système fondamental dénombrable de voisinages ? Ou encore, connaissez-vous un exemple d'espace compact dont une suite (xn) ne possède aucune sous-suite convergente vers une de ses valeurs d'adhérence ?



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par AD.
Re: Compact_adhérence_suite extraite
il y a dix années
avatar
Il me semble que tu demandes un exemple d'espace compact non séquentiellement compact.

On en trouve sur le forum. En général, l'astuce est de se placer sur un produit de compacts, qui sera compact par Tchychonoff, mais pas nécessairement séquentiellement compact. Voir par exemple le premier lien que je te propose dans le fil auquel tu fais allusion (il y en a d'autres).

Cela répond-il ou pas à ta question ?

Je dois te dire que j'ai du mal avec l'expression "valeur d'adhérence". J'ai l'impression qu'on l'emploie souvent pour désigner des choses différentes, avec "point adhérent", "point d'accumulation", et d'autres (la seule expression pour laquelle je suis sûr qu'on parle toujours de la même chose c'est "limite d'une sous-suite"). Donc, si tu demandes un peu plus qu'un simple espace compact non séquentiellement compact, je te saurai gré de préciser ce vocabulaire...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par AD.
Re: Compact_adhérence_suite extraite:)
il y a dix années
Oui, c'est exactement ça. Je ne connaissais pas les espaces séquenciellement compact. J'avais lu la définition il y a quelques années dans un livre mais sans plus y porter attention (ma mémoire a des limites et sur le moment j'avais atteint ces limites...). Voilà qu'aujourd'hui cette notion refait surface !

Merci pour ton aide efficace :)

Sinon, pour le vocabulaire "valeur d'adhérence", je l'entendais:
-pour un ensemble comme le fait que tout voisinage de ce point soit d'intersection non vide avec cet ensemble;
-et pour la suite, comme le fait que tout voisinage de ce point contienne une infinité de terme;

-Point d'accumulation d'un ensemble, c'est un point "p" dont tout voisinage pointé du point "p" est d'intersection non vide avec l'ensemble en question.

---------------------------------------------------------------------------

Je comprends très bien le fait qu'il est primordial lorsque l'on aide quelqu'un, que le vocabulaire soit bien compris et qu'il soit le même pour tout le monde. Surtout qu'on peut trouver de légères différences suivant les livre. S'il manque des informations à mon post, n'hésite surtout pas à me demander, c'est moi qui demande de l'aide et donc ce n'est pas à autrui de perde son temps à vouloir décripter mon message.

Remarque: dans counterexamples in topology, le point que j'ai défini comme point d'accumulation est pour eux un point limite, et pour eux le point d'accumulation est un point limite dont tout voisinage contient une infinité de point de l'ensemble en question. (mes définitions viennent du Schwwartz: topologie générale et analyse fonctionnelle)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par denebe.
Re: Compact_adhérence_suite extraite
il y a dix années
avatar
[oups - j'ai dit une bêtise]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par egoroff.
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