inverse du théorème du point fixe

Je pense que c'est faux. Il existe un continu metrique non trivial X pour lequel les seules applications continues de X dans lui-meme sont les applications constantes. Si on retire un point a un tel ensemble, on obtient un espace metrique E non complet. De plus, tout application contractante de E dans lui-meme se prolonge a son complete, qui est X, en une application differente de l'identite, donc constante. Elle l'etait donc deja au depart et avait bien ainsi un unique point fixe.

Pour un tel continu, j'ai la reference suivante : H. Cook, 1967, Fundamenta Mathematicae "Continua which admit only the identity mappaing onto nondegenerate continua.

Oui, effectivement, en relisant mon message apres l'avoir envoye, je me suis apercu que je n'avais pas inclus l'identite dans les applications continues de X dans X mais elle y est bien evidemment. Je precise donc clairement : Il existe un continu X non reduit a un point, metrique et meme si on veut inclus dans un espace euclidien de dimension 3, tel que les seules applications continues de X dans lui-meme sont l'identite et les applications constantes.

Quel intérêt de remonter ce vieux fil pour dire ça ?