espace relativement compact

Salut,

C'est la definition ("sequentielle") d'un espace relativement compact (souvent appele espace pre-compact).

C'est la definition ("sequentielle") d'un espace relativement compact (souvent appele espace pre-compact).

Il n'y a pas de définition "séquentielle". Si plusieurs définitions sont équivalentes, il faut le prouver. (Idem pour histoire de précompact/rel compact)

En oubliant E, à priori, la question dans X ou dans E par contre n'est pas très différente puisque tout a l'air de se passer dans X et que la distance est une application de $E^2$ dans $\R$

Soit $G$ l'adhérence de $F$ (c'est la même dans $E$ et dans $X$ car $X$ est fermé et qu'une distance induit un e-t séparé)

Si $W$ est un ultrafiltre sur $G$, la question se pose de savoir s'il a une limite, et la réponse est oui, sinon:

Si pour tout $n$ il existe un élément $x_n$ de $G$ à la distance moins de $1/n$ de $W$, comme $x_n$ est adhérent à $F$, il existe aussi une suite $y_n$ d'éléments de $F$ telle que pour chaque $n\in \N: y_n$ est à une distance moindre que $2/n$ de $W$**

** voir la suite pour cette notion de distance d'un point à un ultrafiltre

Une suite extraite de $y$ qui converge a une limite qui est une limite de $W$ et c'est gagné.

Il s'ensuite qu'il existe un réel $a>0$ tel qu'aucun élément de $G$ n'est à distance moindre de $W$ que $a$. (***)

Comme $W$ est non principal, sinon, il aurait une limite, voilà comment tu construis une suite $u$ dans $F$ qui n'a pas de sous-suite convergente (du tout, ni dans $X$, ni dans $E$ lol)

Tu pars d'une suite $u$ dans $G$ telle que:

$dist(u_p,u_n)\geq a$ pour tous entiers $p,n$ tels que $p<n$.

Et tu prends une suite $v$ d'elts de $F$ tels que $dist(v_n;u_n)\leq 1/n$. La suite $v$ convient.

L'existence de la suite $u$ est assurée (supposant les $u_p;p<n$ déjà construits) par le fait que l'ensemble $T_n$ des $y\in G$ tels que pour tout $p<n: dist(u_p,y)\geq a$ est tel que $T\in W$ (à cause de ***), ce qui te permet de construire $u_n$ puisque tu choisis n'importe quel élément de $T$

Conclusion: $G$ est compact, donc $F$ est relativement compact.

(sur ce je vais voir "les beaux gosses" au ciné, j'étais hésitant.. on verra)

ccnc écrivait:

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> C'est la definition ("sequentielle") d'un espace
> relativement compact (souvent appele espace
> pre-compact).
>
>
> Il n'y a pas de définition "séquentielle". Si
> plusieurs définitions sont équivalentes, il faut
> le prouver. (Idem pour histoire de précompact/rel
> compact)

En attendant de prouver qu'elles sont equivalentes, est ce une raison que la definition "sequentielle" n'en soit pas une?

Jusqu'a l'arrivee du Grand egoroff ou de Monseigneur remarque, je prefere attendre pour savoir ou etait la subtilite.

Merci egoroff. Je suis rassurE. ccnc was trying to impress me with some ultrafilters while I knew I was right .

Ok fanf

de Kito:

Un sous ensemble d'un espace metrique qui est relativement compact est aussi dit precompact, ou relativement bornE.
Il n'y a rien a prouver car c'est la definition ou le critere de relativement compact dans les espaces metriques. En effet, si on prend l'adherence, elle est ferme, et egoroff a completE.

J'ai barré les choes sur lesquelles je pense que tu te trompes kito: certes, je ne suis pas "gardien" des définitions, ni même franc connaisseur de toutes les définitions scolaires, mais concernant celles-ci, il me semble très fortement que tu commets une erreur:

C'est un "puissant" théorème que précompact implique relativement compact dans les métriques complets), ce n'est pas une décision taxonomique, où alors c'est un puissant théorème compact et métrique équivaut à seq compact et métrique, mais de quelque façon que tu tournes le truc il y aura toujours un truc (profond) à prouver.

A ma connaissance précompact veut juste dire que quelque soit un epsilon, on peut recouvrir l'espace par un nombre fini de boules de diamètre espilon alors que compact (rel compact=d'adhérence compact, ça ok, c'est une définition) veut dire que quelquesoit la façon d'associer un certain epsilon_x à chaque x de l'epace, même là tu peux trouver un recouvrement fini.

La différence entre les 2, c'est que dans le premier cas l'application $x\to \epsilon _x$ est constante alors que dans le second elle est quelconque.

Sans le mot "complet" d'ailleurs, $[0;1]\cap \Q$ est précompact et métrique, bien que non compact.


Et fanf n'a jamais supposé que quoique ce soit au départ est complet.

Pour prouver que précompact implique compact (dans les complets), il me semble assez difficile d'éviter de passer par une étape où, en fait tu prouves que pour tout recouvrement il exsite $e>0$ telle qur toute boule de diamètre $e$ est incluse entièrement dans au moins un ouvert du recouvrement.

Dans tout métrique compact on a ça...

Egoroff n'a pas parlé de précompacité, mais a utilise la caractérisation de la compacité dans les métriques (seq compact) et a prouvé à fanf que de toute suite de l'adh de F on peut extraire une sous-suite convergente vers une limite de ladite adhérence

j'ai cliqué, je pense que certains articles de wikipedia induisent en erreur, c'est d'ailleurs connu (exemple Godel, etc où moult logiciens sont souvent affligés quand ils le consultent. Donc attention, wikipedia est très bien, mais à prendre avec un esprit critique.

Mais il est bien vrai que cet article fait comme toi, en "déclarant" comme si c'était une définition que précompact veut dire relativement compact.

Je reprends donc ces bases en détails:

un espace métrique $E$ est précompact quand pour tout nombre $e>0$ il existe un ensemble fini de boules de rayon au plus $e$ dont la réunion est $E$.

Exemple: $\Q\cap [0;1]$ est précompact

un sous-espace métrique d'un espace métrique est relativement compact quand son adhérence est compacte

un espace topologique quelconque est compact quand de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini

un espace métrique est séquentiellement compact quand de toute suite on peu extraire une sous-suite convergente

un espace métrique est complet quand toute suite de Cauchy converge

Voici les théorèmes (le nombre d'étoiles représente une mesure de la plus courte preuve connue):

**** 1) Tout métrique segcompact est compact

******** 2)Tout complet précompact est compact

** 3) tout compact métrique est seqcompact

*** 4) le complété d'un précompact est précompact

preuve de 4: recouvrant $E$ avec un nombre fini de boules de rayon $e$ et de centre dans l'ensemble fini F, les limites des suites de Cauchy appartiennent chacune à au moins une des boules de rayon $2e$ dont le centre est dans F

preuve de 3: soit u une suite et à chaque y dans $E$ associons un ouvert $U_y$ contenant y et ne contenant qu'un nombre fini de $u_n$. Soit $F$ un ensemble fini tel que les $U_y;y\in F$ recouvrent $E$. L'un de ces $U_y$ contient une infinité de $u_n$ contradiction

preuve de 1: voir ci-dessus

preuve de 2: admettons qu'il un nombre $e>0$ tel que toute boule de rayon au plus $e$ est entièrement incluse dans un des ouverts du recouvrement $R$. Mais admettre ce point (1) est gratuit, il faut le prouver. Montrons, en fait que n'importe quel ultrafiltre $W$ a une limite. S'il n'en a pas, à chaque $x\in E$, on associe $x\in U_x\notin W$ ce qui donne un recouvrement sans sous-recouvrement fini. A chaque entier $n\in \N$ on associe un point $u_n$ à une distance moindre que $1/n$ de $W$. Si l'un des $u_n$ n'existait pas, on serait ramené au point1, car on pourrait carrément choisir chaque ouvert $U_x$ comme étant un boule de rayon $3e=1/n$ et toute boule de rayon $e$ serait entièrement incluse dans l'un des $U_x$. En effet, si $t\in B(y,e)$ alors $B(y,e)\subseteq B(t,3e)=:U_t$

La suite $u$ existe donc. Elle est évidemment de Cauchy (exercice), puisqu'elle "converge" vers W. Sa limite $z$ est telle que $z$ est une limite de $W$

Je n'ai pas triché pour rallonger la preuve de (2), et tu vois bien que c'est la plus longue...

Salut ccnc,

Peut etre la section Notes dans cet article pourra aider.

c'est le seul livre que j'avais lu enfant (donc ça doit marquer)

(tu):D

Je te soutiens pour le vocabulaire. C'est comme ça que j'ai appris petit aussi.

je coupe et renvoie vers le sujet en lien ci dessous (je le fais d'abord et j'ajoute le lien ensuite...) car ça n'avait pas de rapport avec la choucroute

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,525795


C'est bizarre je n'arrive pas à modifier le msg...

il n'y en pas tu as raison, je racontais ma vie, répondant à remarque (ne pas savoir calculer permet quelques shoots provisoires..)

Je vais le couper-coller vers un sujet anecdotique...

Que veut dire jumping smiley??????

looooooooooool c'est toi qui a utilisé l'expression jumping smiley!!!

cc,

je sais ce que j'ai mis dans mon message. J'ai vu que tu as mentionne dans un autre message que c'est du n'importe quoi ce je raconte. Je te respecte beaucoup et je te prie d'arreter a default d'etre reconnaissant.

hum!