Localement bornée

localement bornée ou localement compacte ?

e.v.

Il me semblait que cette question avait été réglée il y a longtemps.

Une fonction est localement bornée si tout point admet un voisinage sur lequel elle est bornée (machin est localement truc signifie que tout point admet un voisinage sur lequel machin est truc).

Inutile voire nuisible d'imposer le caractère métrique ici. C'est de la compacité pure et dure.

et puisque $f$ est localement bornée sur chaqu'une des $B(x_n,r),$ alors on a $$\forall y \in B(x_i,r), \exists M_y > 0: |f(y)| < M_y$$

Si $M_y$ dépend de $y$, tu n'as rien montré du tout :X:X:X:X:X ! Ce que tu écris est toujours vrai, pour n'importe quels $E$, $f$ sans aucune hypothèse. Il suffit de prendre $M_y=|f(y)|+1$ (le $+1$ est là parce que tu as mis un signe $<$, au lieu du signe $\le$ qui irait aussi bien).

C'est bien cela.

Par contre, comme le notait Remarque, ça marche même dans un espace topologique quelconque, donc au lieu de prendre des boules $B(x_i,r)$, tu aurais tout simplement pu prendre des ouverts $U_i$.

(Un voisinage d'un point étant une partie contenant un ouvert contenant ce point).

Je ne voudrais pas casser l'ambiance, mais ce passage :

doc a écrit:

$$\forall y \in B(x_i,r), \exists M_{x_i} \in B(x_i,r): |f(y)| \leq M_{x_i}$$

est encore toujours vrai sous cette forme pour n'importe quelle fonction $f$, et ne montre rien du tout. J'aimerais y croire, mais je ne suis pas vraiment sûr que doc ait compris ce qui se passait dans cet exercice.

doc écrivait:

---

> Bonsoir,
> Dans cet exercice, on a un espace compact $E.$
> Pour chaque point $x$ de $E,$ on peut trouver un
> voisinage de $x$ sur lequel $f$ est bornée, c'est
> à dire qu'en chaque point $y$ de ce voisinage de
> $x,$ on peut majorer $f(y)$ par une constante.
> On veut généraliser cette propriété et montrer que
> $f$ est bornée sur l'espace $E$ tout entier, et
> pas seulement sur un des voisinages tout point de
> $x \in E.$
> Pour ca, on utilise la compacité de $E.$ En effet,
> on peut recouvrir $E$ par l'union des voisinages
> de $x$ ( on choisit ces voisinages ouverts) alors,
> on peut en extraire un recouvrement fini d'ouverts
> pour $E.$ Ce qui nous permet, en mosant $M$ le
> plus grand de tous les autres majorant sur les
> different voisinages de $x,$ de montrer que $f$
> est bornée sur $E.$

Jusqu'ici tout va bien, tu as bien résumé la démarche. C'est après que ça se corse :

> Pour la question, qu'est ce qui nous permet de
> savoir si $M < + \infty,$ et bien, puisque $M=
> \sup M_{x_i}$ ert que chacun de ces $M_{x_n}$ est
> fini, alors il n'ya pas de problème. Il y'a un
> souci si l'un des $M_{x_i}$ et $+ \infty.$ La
> situation s'embrouille un peu.
> En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que
> pour toute votre patience.

Tu fais deux erreurs (graves) :
- croire qu'il est possible qu'un des $M_{x_i}$ soit infini ;
- croire que si des nombres sont finis, alors leur sup est fini : pense à $\sup_{x \in \R} x$.