Question simple point d'accumulation/fermé

Fractalus
Fractalus
dans Topologie
Bonjour,
J'avais une besoin d'aide concernant une démonstration à propos des fermés et des points d'accumulation.

"Soit $E$ un ensemble arbitraire de nombres réels. Montrer que $E'$, l'ensemble des points d'accumulation de $E$, est fermé."
Pourquoi est-ce évident que ce résultat est vrai?
Je sais que par définition "Un ensemble $E$ est fermé si et seulement si il contient tous ses points d'accumulation, c'est-à dire si $E'$ est compris dans $E$."
Voici ma définition d'un point d'accumulation: Un point d'accumulation $a$ est un point d'accumulation d'un ensemble $E$ si tout voisinage de $a$ contient un point de $E$ autre que $a$, i.e.
$\forall \epsilon > 0, V'(a,\epsilon ) \cap E \neq \emptyset$
$V'$ est le voisinage troué (donc sans le point $a$).
Voici donc ce que j'ai tenté:
Par définition,
un ensemble $E$ est fermé si et seulement si il contient tous ses points d'accumulation, i.e. si $E' \subset E$.
Étant donné que je veux montrer que $E'$ est fermé, je crois qu'il serait bon de montrer que $(E')' \subset E'$ où (E')' étant "l'ensemble des points d'accumulation DE l'ensemble des points d'accumulation de $E$".
On sait que $E \subset \mathbb{R}$.
Donc, soient $x\in E, \ y\in E',\ z\in (E')'$.
Je dois montrer que $(E')' \subset E'$ où (E')'.
Par définition de $(E')'$, on a que $(E')'=\{z | \forall \epsilon > 0,\ V'(z,\epsilon ) \cap E' \neq \emptyset \}$.
Ici je ne sais pas comment continuer, j'aurais aimé utilisé le théorème de la densité des rationnels qui me permettrait de dire que $(E')'$ appartient à $E'$, mais je crois que le théorème ne s'appliquerait pas ici.
SInon, c'est fort possible que la propriété d'Archimède soit utile ici.
Bref, votre aide serait grandement appréciée!
Au plaisir,
Fractalus

Réponses

  • Meu
    Meu
    Tiens, j'ai vu la même question sur ilemaths... Viendrais-tu pêcher ici la réponse à apporter à cette question sur l'autre forum ? Oh!
  • Meu
    Meu
    A part ça, densité et Archimède n'ont rien à faire ici. Il suffit d'user la définition jusqu'à la corde pour lui faire cracher qu'un point d'accumulation de points d'accumulations de E est un point d'accumulation de E.
  • ccnc
    ccnc
    Un point $x$ qui n'est pas un point d'accumulation est par définition tel qu'il existe un ouvert U, avec $x\in U$ et ...

    Un ouvert $T$ est par définition un ensemble tel que pour tout $x\in T$ il existe un ouvert $U$ tel que $x\in U$ et ...
  • Fractalus
    Fractalus
    Bonjour,
    Non je n'ai pas posé de questions sur Île maths. Hier, j'ai fait une démonstration et je voulais savoir ce que vous en pensiez:
    Montrons que $(E')^c$, le complémentaire de E', est ouvert.
    Soit $x \in (E')^c$. Si x n'est pas un point d'accumulation de E, alors
    $\exists \epsilon > 0 | V'(x,\epsilon) \cap E' = \emptyset$. Alors $(E')^c$ est ouvert.
    Soit $x \in (E')^c$.
    Montrons que $V'(x,\epsilon)\cap E' = \emptyset , \forall \epsilon > 0$.
    Supposons que $\exists \epsilon > 0 | V'(x,\epsilon) \cap E' \neq \emptyset$.
    Alors, $ \exists x \in (E')^c | x \in E' \Rightarrow E'\cap(E')^c \neq \emptyset$ pour un certain $x\in (E')^c$. Contradiction!!
    Donc $\forall \epsilon > 0, V'(x,\epsilon)\cap E' = \emptyset$.
    $\Rightarrow$ Si $(E')^c$ est ouvert alors E' est fermé.
    CQFD
    "
    Fractalus
  • egoroffski
    egoroffski
    Le recours à l'absurde n'est pas nécessaire ; tu peux montrer directement que pour tout $y \in V'(x,\varepsilon)$, $y$ n'est pas un point d'accumulation de $E$.
  • Fractalus
    Fractalus
    Merci egoroffski. Néanmoins, cette preuve est-elle correcte?

    J'ai vu qu'il y a eu une modification de mon message par AD.

    Je voulais vraiment dire $V'(x,\epsilon)\cap E = \emptyset ,\ \forall \epsilon > 0$ pour la première partie et non $\cap E'$ parce que je voulais montrer que $(E')^c$ est ouvert.

    Bref, quelle partie de ma démonstration n'est pas correcte et comment dois-je la modifier ?
    [J'ai modifié ton message en supprimant les lignes vides. Le compilateur du forum respecte les sauts de ligne du message.
    Il est donc inutile, contrairement à la syntaxe LaTeX, de mettre une ligne vide entre chaque ligne.
    On a ainsi un message qui tient sur un écran, donc plus lisible (et donc plus lu). ;) AD]
  • pierre110
    pierre110
    Salut;
    $ E' $ est fermé revient à montrer que $ E' ^{c} $ est ouvert.
    Soit $ a \in E' ^{c} $ donc, $ a $ n'est pas un point d'accumulation.
    Et donc $ \exists \epsilon > 0 $ tel que : $ B(a, \epsilon ) \bigcap E' = \emptyset $
    i.e :
    $ B(a, \epsilon) \subset E' ^{c} $
    donc, $ E' ^{c} $ est un ouvert (il contient une boule ouverte)
    CQFD
  • egoroffski
    egoroffski
    La démo me paraît correcte, simplement le raisonnement par l'absurde est un peu maladroit !
    Pablo a écrit:
    Et donc $ \exists \epsilon > 0 $ tel que : $ B(a, \epsilon ) \bigcap E' = \emptyset $

    Justement ce n'est pas si évident ; en tous cas c'est n'est pas la définition de "$a$ n'est pas un point d'accumulation".
  • Fractalus
    Fractalus
    Ma démonstration est-elle vraiment correct ou bien est-ce que je ne fais que dire que (E')^c n'est pas fermé.

    Ce qui n'est pas la même chose qu'être ouvert.

    La démonstration de Pierre1 est-elle correcte?
  • Meu
    Meu
    Fractalus a écrit:
    Montrons que $ V'(x,\epsilon)\cap E' = \emptyset , \forall \epsilon > 0$.
    Supposons que $ \exists \epsilon > 0 \vert V'(x,\epsilon) \cap E' \neq \emptyset$.
    Alors, $ \exists x \in (E')^c \vert x \in E' \Rightarrow E'\cap(E')^c \neq \emptyset$ pour un certain $ x \in (E')^c$. Contradiction!!
    Donc $ \forall \epsilon > 0, V'(x,\epsilon)\cap E' = \emptyset$.

    Qu'as-tu montré, là ? que $E'$ est vide, ou réduit à $\{x\}$. En effet si on avait $y\in E'$ avec $y\ne x$, alors, pour $\epsilon= 2|y-x|$, on aurait $y \in V'(x,\epsilon)\cap E'$. Or tu as montré que $V'(x,\epsilon)\cap E' = \emptyset$ pour tout $\epsilon$ : contradiction. Bizarre, bizarre...
  • egoroffski
    egoroffski
    Fractalus a écrit:
    Ma démonstration est-elle vraiment correct ou bien est-ce que je ne fais que dire que (E')^c n'est pas fermé.

    A vrai dire je n'en suis plus si sûr, puisque qu'on ne fait pas très bien la différence entre ce que tu as prouvé et ce que tu annonces que tu vas prouver.

    Voilà une rédaction correcte, et sans trop de symboles : si $x$ est un point du complémentaire $F$ de $E'$, on peut trouver $\varepsilon>0$ tel que $V'(x,\varepsilon)$ ne rencontre pas $E$.

    Notons $U=V'(x,\varepsilon)$ ; c'est un ouvert. Donc si $y \in U$, on peut trouver un $\delta > 0$ tel que $V(y,\delta) \subset U$, et par conséquent $V'(y,\delta) \subset U$. Donc $V'(y,\delta) \cap E=\emptyset$, ce qui signifie que $y$ n'est pas un point d'accumulation, i.e. $y \in F$.

    On a donc montré que $U=V'(x,\varepsilon) \subset F$ ; puisque $x$ est également dans $F$, on a $V(x,\varepsilon) \subset F$. Donc $F$ est voisinage de chacun de ses points : c'est un ouvert, et donc $E'$ est fermé.
    Fractalus a écrit:
    La démonstration de Pierre1 est-elle correcte?

    Telle quelle, non, car il ne justifie pas que $B(a, \epsilon ) \bigcap E' = \emptyset$, et il oublie de trouer les voisinages (important car $a$ pourrait être un point isolé de $E$).
  • christophe c
    christophe c
    Je pense surtout que ça manque de quantificateurs or il est difficile de s'en passer dans les démonstrations que tu essaies de faire.

    Un élément x qui n'est pas un point d'accumulation de A est un élément x tel qu'il existe un ouvert U qui le contient où il n'y aura aucun autre élément que x qui soit dans A. (En admettant une définition que j'ai dû voir plus haut dans le fil donc je la respecte). Il te reste seulement alors à justifier qu'aucun élément de U n'est un point d'accumulation de A.

    Or si y est dans U, mais différent de x, il te suffit alors de pouvoir dire qu'il existe un ouvert V(y) qui contient y, qui est inclus dans U et qui ne contient pas x. (Et comme je crois que tu t'occupes d'espaces où c'est admis tel quel, ça ne va pas trop te poser de problème "de fond").


    Maintenant, sur la forme, pour chaque $x\notin acc(A)$ tu as bien un ouvert $U(x)$ qui contient $x$ mais tel que $U(x)-\{x\} $ disjoint de A, mais, pour prouver ça, il te suffit (rooo, je voulais pas dire "il faut" :D ), mais ça te coute un peu, de justifier que $\forall y\in U(x)-\{x\}\exists V(x,y)$ un ouvert inclus dans $U(x)$, qui ne contient pas $x$, et qui sera donc disjoint de $A$ et dont les éléments différents de $y$ seront donc tous hors de $A$.

    "L'application" révélée ci-dessus, je ne sais si c'est ça qui te pose problème, je n'ai pas trop lu, $y\in U, y\neq x\mapsto V(x,y)$, ne peut pas généralement être constante, ni même être telle que $y\mapsto diametre(V(x,y))$ est constante.

    Ces commentaires (lourdingues?) te mettent en correspondance (enfin, c'était ma volonté) les difficultés de forme que tu rencontres peut-être avec celle "de fond" qui "se voient" (non constance, non uniformité de l'argument..)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Kesso
    Kesso
    Moi j'ai une démonstration qui dit ceci.
    Montrer que l'ensemble des points d'accumulation A' de A est un fermé de R
  • gerard0
    gerard0
    Oui. C'est la question initiale de ce fil. Et la réponse, si elle t'intéresse est dans la discussion.

    Cordialement.
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