différence correspondance / application

Bonjour.

A ma connaissance, le mot "correspondance" est un mot de français courant qui n'a pas de signification technique en mathématiques (sauf peut-être dans des domaines très spécialisés que j'ignore). Par contre, "application" est un mot technique des maths. Une des définitions possibles :
Si E et F sont des ensembles, une application f de E dans F est une partie de $E\times F$ qui vérifie les propriétés :
a) $\forall x\in E, \exists y \in F , (x,y) \in f$
b) $\big( (x,y) \in f et (x,z)\in f \big) \Rightarrow y=z$

Traduction :
Au lieu de $(x,y)\in f$ qui dit que x a pour image y, on note $y=f(x)$. La première propriété dit que tous les éléments de E ont une image, la deuxième que l'image est unique. En "oubliant" la première propriété, on a la définition d'une fonction.

Cordialement.

Dans Ramis-Deschamps-Odoux, de mémoire :
- une correspondance est un triplet $(E,F,\Gamma)$, où $E$ et $F$ sont des ensembles et $\Gamma$ est une partie de $E \times F$ appelée graphe de la correspondance ;
- une fonction est une correspondance fonctionnelle, c'est-à-dire telle que pour tout $x \in E$, il existe au plus un $y \in F$ tel que $(x,y) \in \Gamma$ ; l'ensemble (possiblement vide) des $x$ pour lesquels il existe effectivement un tel $y$ est le domaine de définition de la fonction ;
- une application est une fonction définie sur tout $E$ : $\forall x \in E, \, \exists! y\in F \, : \, (x,y) \in \Gamma$.
Par exemple :
- $E=F=\R$, $\Gamma=\{(x,y) \, | \, x=y^2\}$ est une correspondance, non fonctionnelle ;
- $E=\R$, $F=\R_+$, $\Gamma=\{(x,y) \, | \, x=y^2\}$ est une correspondance fonctionnelle, de domaine de définition $\R_+$ ;
- $E=F=\R_+$, $\Gamma=\{(x,y) \, | \, x=y^2\}$ est une application (la racine carrée).

Salut Gérard,

En effet, une relation est une correspondance avec $E=F$. C'est nécessaire pour pouvoir parler de réfléxivité, de symétrie, de transitivité, et d'antisymétrie. Mais c'est vrai qu'on emploie aussi des relations où $F \neq E$, par exemple on peut voir $\in$ comme une relation définie avec $F=\mathcal{P}(E)$.

Quant à savoir si c'est classique ou non, je t'avoue que je ne sais pas trop, c'est ma seule et unique source sur le sujet

Bonjour tous les deux...

Après vérification, le terme de correspondance est donné par Bourbaki dans Théorie des ensembles, chapitre II §3.

Il définit d'abord un graphe : c'est un ensemble dont tous les éléments sont des couples ; puis une correspondance qui est un triplet (G,A,B) où G est un graphe dont les projections sont respectivement incluses dans A et dans B.

Il me semble que l'on peut donc considérer la notion de correspondance comme classique .

Bruno

Bonjour je ne suis pas sur de bien saisir:
- un graphe est juste un ensemble de couples d objets (appartenant a des ensembles quelconque) alors que la correspondance est un graphe dont les projections sont respectivement incluses dans A et dans B.
Par exemple E={(5,1),(5,(0,2))} est un graphe on a deux couples d objets (E a deux elements) mais ce n est pas une correspondance car 1 et (0,2) ne sont pas dans le meme espace

J'ajoute une remarque à ce vieux message pour défendre la notion de correspondance :
ce n'est pas parce qu'elle a disparu des livres de prépa (il y a 20 ou 30 ans c'était un sous-chapitre avant "applications", il y avait des exos là-dessus dans les livres d'exos genre Rivaud etc, c'était banal) et que les gens ne lisent pas Bourbaki qu'elle n'est pas "utile" :-)

Par exemple, la notion est (utile et) utilisée de façon intensive en géométrie algébrique ("correspondances algébriques").

De façon générale, les correspondances sont très utiles lorsqu'il n'y a pas assez de morphismes dans une catégorie, elles permettent par exemple de donner un sens à ce que seraient des applications "multivaluées", et de travailler rigoureusement avec ce type d’objet. C'est donc de l'or en barre. La notion de correspondance fait ensuite combo avec plein d'autres choses.

Actuellement la notion est réintroduite en général en M2 dans les disciplines qui en ont besoin, et directement dans leur contexte.

Le mot "relation" est aussi utilisé dans le cas où on n'a pas des couples mais des triplets, des quadruplets, etc.
Une relation définie par des couples est alors appelée une "relation binaire".

En algèbre relationnelle, les relations peuvent porter sur des ensembles différents (et c'est même très souvent le cas), une relation peut ainsi lier un élément de $E$ avec un élément de $F\neq E$, voire relier des éléments de $n$ ensembles différents.