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Topologie

Envoyé par Intra-put 
Intra-put
Topologie
il y a deux années
Bonjour à tous,

Je voudrais savoir comment on construit la topologie naturelle de l'espace suivant $ \mathcal{L} ( V , V' ) $, avec $ V $ et $ V' $ deux espaces vectoriels de dimensions finies $ n $ et $ p $ respectivement.

Merci pour votre aide.
Re: Topologie
il y a deux années
Hello,

Espace vectoriels sur quel corps ?
Intra-put
Re: Topologie
il y a deux années
$ \mathbb{R} $ ou $ \mathbb{C} $.
Re: Topologie
il y a deux années
Dans ce cas, on sait qu'on peut munir $V$ et $V'$ de normes, respectivement $N$ et $N'$. On définit alors une norme $\nu$ sur $L(V,V')$ par $\nu(f)=\sup_{N(x)=1} N'(f(x))=\sup_{N(x) \leq 1} N'(f(x))=\sup_{x \neq 0} \frac{N'(f(x))}{N(x)}$, cette norme définit une distance $d(f,g)=\nu(f-g)$, et la topologie est celle associée à cette métroque. Tu peux vérifier qu'elle ne dépend pas du choix de $N,N'$.
gb
Re: Topologie
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Comme \(V\) et \(V'\) sont de dimensions finies, la topologie {\og}naturelle{\fg} sur \(\mathcal{L}(V,V')\) est la topologie de la convergence simple.
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