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Une topologie sur R2

Envoyé par kiroro 
Une topologie sur R2
il y a huit années
Titre initial : Question
[Voila un titre bien informatif ! AD]

Bonjour, j'ai un exercice et je trouve quelques difficultés à le faire.
Voilà l’exercice :
On pose $\Omega_{r} =\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ x^2+y^2=r^2 ,\ r\in \mathbb{R}_{+}\right\rbrace $On désigne par $\sigma$ la famille constituée de $\emptyset$ et de toutes les unions des ensembles $\Omega_{r}$
1). Prouver que $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ est un espace topologique.
2). Prouver que chaque élément $\Omega_{r}$ de $\sigma$ est ouvert et fermé.
3). Comparer les deux topologies $\sigma$ et $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$.
4). L'espace $(\mathbb{R}^2 ,\sigma)$ est-il séparé ?
On pose : $A=[-1,1] \times [-2,2]$
5). Déterminer $\overline{A}$ et $ A^{\circ}$
6). Déterminer deux ouverts de la topologie trace $\sigma_{A}$, non vide et n'est pas identique a $A$
7). Étudier dans $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ la nature de la suite $(u_{n})_{n}=((\sin {n}, \cos{n})_{n})_{n}$
8). Déterminer dans $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ les valeurs d’adhérence de la suite $((v_{n})_{n}=(((-1)^{n}+2,(-1)^n+3))_{n}$
9). On considère la projection $\pi_{1}: (\mathbb{R}^2,\sigma)\longrightarrow (\mathbb{R}, |.|)$
*) Étudier la continuité de $\pi_{1}$ en chaque point de son domaine de définition.
**) Prouver que $\pi_{1} $ n'est pas un homéomorphisme.

Voilà pour l’exercice j'aimerais bien que vous m’aidiez à le faire pour n'oublier aucun détail.
S'il vous plait, merci.
Re: Question
il y a huit années
avatar
Soit $r\in\R_+$. On pose $\Omega_{r} =\{ \,(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=r^2\,\}$ .
$\sigma$ n'est-elle pas composée de $\emptyset$ et de l'ensemble des $\Omega_{r}$ où $r\in\R_+$ ? (et non de l'union...)
Re: Question
il y a huit années
Pour la première question :
$\emptyset \in \sigma$ par définition , pour chaque ($\Omega_{r})_{r \in L \subset \mathbb{R_{+}} }$ l'union appartiens aussi a $\sigma $ par définition
reste a prouver que $\mathbb{R}^2 \in \sigma$ ,je pense que je doit prouver que $\mathbb{R}^2 = \displaystyle\bigcup_{r\in\mathbb{R}_{+}} \Omega_r}$
et faut prouver que $\Omega_{r_{1}} \cap \Omega_{r_{2}} \in \Omega_{r}$
Re: Question
il y a huit années
ah pardon , pas l'union ,toutes les unions possible des éléments $\Omega_r$
Re: Question
il y a huit années
naturellement on a $\displaystyle\bigcup_{r\in \mathbb{R_{+}}}\Omega_{r} \subset \mathbb{R}^2}$
Re: Question
il y a huit années
@Archimède : non, la définition donnée par l'exercice est correcte, car justement la topologie est un ensemble de parties stables par réunion quelconque ce qui d'une part va être indispensable pour prouver que |R2 appartient à sigma, et d'autre part est indispensable si l'on veut considérer l'ensemble E = {(x,y) tq x2+y2=r12 ou x2+y2 = r22}

@kiroro, tu es bien parti. Une topologie est définie comme un ensemble de parties stable par réunion quelconque, stable par intersection finie et contenant le vide et l'ensemble total.
Comme tu l'indiques, par définition de l'exercice le vide appartient à la Sigma et toute réunion (quelconque y compris infinie) aussi.

Concernant |R2 : pense à la réunion de tous les cercles (réunion infinie pour tout r de |R+) : cela donne quoi ?

Concernant l'intersection : c'est relativement facile à montrer : quel est le résultat de l'intersection de deux cercles centrés sur O, l'un de rayon r1 et l'autre de rayon r2 ?
Re: Question
il y a huit années
pour l'intersection c'est $\Omega_{min(r_{1},r_{2})}$ évidement il appartient a $\sigma$
pour $\mathbb{R}^2$ il faut que je sache comment bien rédiger
si $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ comment déduire que $(x,y)$ est dans l'union?
s'il vous plait
merci
Re: Question
il y a huit années
avatar
L'intersection de tes deux cercles est soit vide soit égale à tes deux cercles (s'ils sont confondus).
En fait, il faut prendre deux ensembles de cercles concentriques (ce à quoi ressemblent les parties de $\sigma$), leur intersection contient aussi des cercles concentriques et elle est dans $\sigma$.
Re: Question
il y a huit années
Pour l'intersection, Nicolas a vu juste, l'intersection de deux cercles concentriques est vide sauf s'ils sont identiques, donc la l'intersection de deux réunions de cercles concentriques est la réunion des cercles concentriques appartenant aux deux ensembles. On peut le rédiger également en remarquant que l'intersection est distributive par rapport à la réunion, donc l'intersection de deux réunions de cercles est égale à la réunion des intersections deux à deux des cercles, qui est finalement constituée de la réunion de "quelques" cercles ("quelques" pouvant être infini tout comme nul).

Pour la réunion, il suffit de poser cela comme suit (désolé je ne maîtrise pas LaTeX alros c'est très littéral) :

|R2 = U(r appartient à |R+)(OMEGAr)

|R2 est la réunion de tous les cercles de rayon r pour r appartenant à |R+ : en effet, pour tout point (x,y) de |R2, on peut trouver un OMEGAr contenant ce point, il suffit de prendre r = (x2+y2)1/2
Re: Question
il y a huit années
Pour les questions 1) et 2), on peut egalement remarquer que $\sigma$ est l'image inverse de la topologie discrete sur $\R_+$ par l'application "norme".
Re: Question
il y a huit années
merci donc c'est bon pour la 1).
pour la 2) il est claire que tout élément de $\sigma$ est un ouvert ,pour qu'il soit aussi fermé son complémentaire doit être aussi un ouvert , le complémentaire de $\Omega_{r}$ c'est les (x,y) de $\mathbb{R}^2$ tq $x^2+y^2 \neq r^2$ c'est a dire plus grand ou plus petit que $r^2$ et $r \in \mathbb{R}_{+}$
et je n'arrive pas a voir si il est vraiment ouvert !
pour la 3) il me semble que les deux topologies sont incomparable !
pour la 4). l'espace n'est pas séparer parce que les ouverts ce coupent ,on ne peux pas trouver pour deux élément de $\mathbb{R}^2$ on ne peux pas trouver deux voisinages distinct
Re: Question
il y a huit années
avatar
Bonjour

Tu sais qu'une réunion d'ouverts est un ouvert, non?

N'importe quelle topologie est contenue dans ${\cal P}(\R^2)$, non?

Comment sépares-tu deux éléments du même cercle?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Oui une réunion d'ouvert est un ouvert.
Tu dis donc que $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ est plus fine que $\sigma$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
avatar
Je dis même que c'est LA PLUS fine possible!
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Oui suis-je bête, c'est très juste ce que tu as dit.
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
et pour le complémentaire ?
s'il vous plait
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
avatar
Quel complémentaire?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Kiroro : es-tu d'accord pour dire qu'une partie quelconque $U \subset \R^2$ est un ouvert de $\sigma$ si et seulement si $U$ s’écrit $\{ (x,y) \mid x^2+y^2 \in A \}$ où $A$ est une certaine partie de $\R_+$ ? Si c'est le cas, peux-tu écrire le complémentaire de $U$ d'une manière similaire ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
le complémentaire de $\Omega_{r}$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
As-tu fait un dessin ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Pour le caractère "ouvert et fermé à la fois" :
Un ouvert de la topologie $\sigma$, est une réunion de cercle $\Omega_{r}$ pour $r$ appartenant à un sous-ensemble $E$ de $\R_+$.
Par conséquent son complémentaire est la réunion des cercles $\Omega_{r'}$ pour $r'$ appartenant à $\R_+\setminus E$.
Son complémentaire est donc réunion d'ouverts... je te laisse finir.

Pour $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ il s'agit de l'ensemble de toutes les parties de $\R^2$, ce qui définit la topologie discrète qui est la topologie la plus fine possible et qui contient toutes les autres topologies. À la question de comparaison posée, il faut simplement dire si $\sigma$ est égale ou pas à la topologie discrète.

Enfin pour la question 4, le truc n'est pas de savoir si les cercles se coupent (d'ailleurs deux cercles concentriques ne se coupent que quand ils sont identiques), mais de savoir si en prenant 2 points quelconques $P$ et $Q$ on peut trouver deux ouverts disjoints $O_P$ et $O_Q$, l'un contenant $P$ et l'autre contenant $Q$ ; si par contre l'espace n'est pas séparé il suffit de trouver deux points distincts pour lesquels tout ouvert contenant l'un contient l'autre. À ton avis ?

[Tant qu'à écrire en $\LaTeX$, faisons le jusqu'au bout. ;) AD]
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Bonjour
Pour prouver que $\Omega_{r}$ est fermé dans $\sigma$, on doit prouver que son complémentaire est ouvert dans $\sigma$.
$\Omega_{r}=\left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=r^2,\ r\in \mathbb{R}_{+}\right\rbrace$
le complémentaire de $\Omega_{r}$ est, si je ne me trompe pas
$\left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2\mid x^2+y^2 \neq r^2 ,\ r\in \mathbb{R}_{+} \right\rbrace $
et là, je ne vois pas comment peut-il être un ouvert ?
Je reviens à ce que l'ami a dit avant ça ; je prends $A= \left\lbrace r,\ r\in \mathbb{R}_{+} \right\rbrace$ ?
S'il vous plait
Merci
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Reviens à la définition des ouverts : pour démontrer qu'un ensemble est ouvert, tu peux (1) soit trouver qu'il est la réunion d'ouverts connus, ou (2) prouver qu'il est voisinage de tous ses points.

Dans le cas de $\R^2\setminus \Omega_r$, comment peux-tu faire ? (les deux mécanismes sont utilisables)
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Kiroro : je ne vois pas l'interet de la notation $ A= \left\lbrace r,r\in \mathbb{R}_{+} \right\rbrace$. Pour moi, un $A$ defini de la sorte est simplement egal a $\R_+$. Dans le meme ordre d'idees l'egalite $ \Omega_{r}=\left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 ; x^2+y^2=r^2, r\in \mathbb{R}_{+}\right\rbrace$ n'a pas de sens parce que $r$ est fixe dans le membre de gauche, tu ne peux pas le faire varier dans celui de droite.

Tu devrais peut-etre commencer par bien approfondir les bases avant de te lancer dans des exos de topologie compliques...
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Bon faut croire que des fois j'écris des choses fausses
mais la ça un sens ci je dit que le complémentaire est $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2,\ x^2+y^2 =r^2 ,\ r\in \mathbb{R} _{-} \}$
Il me semble que c'est très faux ça !
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Le complementaire de quoi ? Sois precis !
Et tu te rends bien compte que l'ensemble que tu as ecrit dans ton dernier message est reduit a un point ? (lequel ?)
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
le complémentaire de $\Omega_{r}$
le point c'est (0,0) ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Oui. Tu vois pourquoi ?

Tu as fait un dessin comme je te l'avais conseille ? a la lumiere de ce dessin, penses-tu que le complementaire de $ \Omega_{r}$ soit un point ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
oui j'ai fait un dessin ,et pas du tous c'est pas un point
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
OK. A partir de maintenant on prend un $r$ fixe une fois pour toutes, et en particulier tu n'auras plus le droit d'utiliser la lettre $r$ comme variable muette, comme dans $\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2, x^2+y^2 =r^2 , r\in \mathbb{R} _{-} \right\}$. D'accord ?

En regardant ton dessin, peux-tu decrire le complementaire de $ \Omega_{r}$ ? est-ce qu'il contient d'autres cercles $ \Omega_{u}$ ? si oui, lesquels ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
$\Omega_{r}$ est un cercle de centre (o,o) et de rayon r ,le complémentaire doit être ce qui est dans le cercle si on peux dire ça comme ça et ce qui est en dehors du cercle , non ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
il contien d'autre $\Omega_{u}$ u plus grand que r et les plus petit aussi
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
OK, est-ce que tu pourrais decrire l'ensemble de ces $u$ ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
kiroro écrivait:
-------------------------------------------------------
> il contien d'autre $\Omega_{u}$ u plus grand que r
> et les plus petit aussi

Tu te rapproches de la solution : peut-tu être plus précis ? "il contient d'autres plus grands", lesquels in extenso ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
c'est quoi inextenso?
bref il me semble que pour tout $\varepsilon$ positif les $\Omega_{r+\varepsilon}$ et $\Omega_{r-\varepsilon}$
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
J'ai un peu de mal à comprendre cet empressement à répondre à des messages qui n'ont souvent aucun sens. Souvent, ce ne sont même pas des phrases. Ne pourrait-on attendre de kiroro qu'il soigne davantage ses messages ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
merci H,
s'il vous plait, c'est juste ce que j'ai dit ?
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
@kiroro:

"il me semble que pour tout $\varepsilon$ positif les $\Omega_{r+\varepsilon}$ et $\Omega_{r-\varepsilon}$"

Ce n'est pas une phrase. Ca n'a absolument aucun sens. Ce n'est donc ni vrai ni faux. On peut évidemment jouer à deviner ce que tu as bien pu vouloir dire mais je n'ai pas du tout envie de jouer à ce jeu. Je pense que ce ne serait pas te rendre service.

Fais des phrases !
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
ok,je veux dire que le complémentaire de $\Omega_{r}$ contenais$\Omega_{r+\varepsilon}$ et $\Omega_{r-\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon$ positif
il me semble que c'est juste
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
C'est juste mais un peu tordu. Je pose la question autrement : à quelle condition sur $u \in \R_+$ a-t-on $\Omega_u \subset \left( \Omega_r \right)^c$ ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
$u \in [0,r[ \cup ]r,+\infty[$ je pense !
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
OK !

Bon, et donc, est-ce que tu ne pourrais pas trouver une certaine réunion de cercles qui soit incluse dans le complémentaire de $\Omega_r$ ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
oui il y a $(\Omega_{u})_{u\in ]r, +\infty [ \subset \mathbb{R}_{+}}}$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Ceci est une famille de parties de $\R^2$, pas une partie de $\R^2$.

D'autre part, tous les réels positifs distincts de $r$ ne sont pas nécessairement strictement supérieurs à $\R$, il te manque du monde.

(au passage, le "$\subset \R_+$" en indice est au mieux strictement inutile, au pire nocif à la compréhension)
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Bien là, je ne vois pas !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Ben réfléchis mieux alors.
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Plutôt que de te perde dans le formalisme, peut-être devrais-tu décrire les choses en français, sans formules.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Comment ?
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Et si tu faisais des phrases, que l'on te comprenne ? Je ne t'ai pas déjà dit ça récemment ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Comme le dit H, écris ton idée en français, sans les formules.
Par exemple, au lieu d'écrire "$A \subset \R_+$", tu écris "A est un sous-ensemble de $\R_+$" et si tu voulais en fait dire que A est un élément de $\R_+$ (un réel positif) tu comprends tout de suite l'erreur que tu commets.

Et nous on comprends aussi ce que tu veux dire car comme l'a indiqué egorfffski, $(\Omega_{u})_{u\in ]r, +\infty [ \subset \mathbb{R}_{+}}}$ ne signifie pas grand chose ou en tout cas on ne comprend pas ce que tu veux dire (est-ce que tu parles d'une famille d'ensembles ? d'une réunion d'ensembles ? Que signifie le $_{\subset \R_+}$ en fin d'indice ?).
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