Une topologie sur R2

Titre initial : Question
[Voila un titre bien informatif ! AD]

Bonjour, j'ai un exercice et je trouve quelques difficultés à le faire.
Voilà l’exercice :
On pose $\Omega_{r} =\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ x^2+y^2=r^2 ,\ r\in \mathbb{R}_{+}\right\rbrace $On désigne par $\sigma$ la famille constituée de $\emptyset$ et de toutes les unions des ensembles $\Omega_{r}$
1). Prouver que $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ est un espace topologique.
2). Prouver que chaque élément $\Omega_{r}$ de $\sigma$ est ouvert et fermé.
3). Comparer les deux topologies $\sigma$ et $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$.
4). L'espace $(\mathbb{R}^2 ,\sigma)$ est-il séparé ?
On pose : $A=[-1,1] \times [-2,2]$
5). Déterminer $\overline{A}$ et $ A^{\circ}$
6). Déterminer deux ouverts de la topologie trace $\sigma_{A}$, non vide et n'est pas identique a $A$
7). Étudier dans $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ la nature de la suite $(u_{n})_{n}=((\sin {n}, \cos{n})_{n})_{n}$
8). Déterminer dans $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ les valeurs d’adhérence de la suite $((v_{n})_{n}=(((-1)^{n}+2,(-1)^n+3))_{n}$
9). On considère la projection $\pi_{1}: (\mathbb{R}^2,\sigma)\longrightarrow (\mathbb{R}, |.|)$
*) Étudier la continuité de $\pi_{1}$ en chaque point de son domaine de définition.
**) Prouver que $\pi_{1} $ n'est pas un homéomorphisme.

Voilà pour l’exercice j'aimerais bien que vous m’aidiez à le faire pour n'oublier aucun détail.
S'il vous plait, merci.