Une topologie sur R2
Titre initial : Question
[Voila un titre bien informatif ! AD]
Bonjour, j'ai un exercice et je trouve quelques difficultés à le faire.
Voilà l’exercice :
On pose $\Omega_{r} =\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ x^2+y^2=r^2 ,\ r\in \mathbb{R}_{+}\right\rbrace $On désigne par $\sigma$ la famille constituée de $\emptyset$ et de toutes les unions des ensembles $\Omega_{r}$
1). Prouver que $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ est un espace topologique.
2). Prouver que chaque élément $\Omega_{r}$ de $\sigma$ est ouvert et fermé.
3). Comparer les deux topologies $\sigma$ et $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$.
4). L'espace $(\mathbb{R}^2 ,\sigma)$ est-il séparé ?
On pose : $A=[-1,1] \times [-2,2]$
5). Déterminer $\overline{A}$ et $ A^{\circ}$
6). Déterminer deux ouverts de la topologie trace $\sigma_{A}$, non vide et n'est pas identique a $A$
7). Étudier dans $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ la nature de la suite $(u_{n})_{n}=((\sin {n}, \cos{n})_{n})_{n}$
8). Déterminer dans $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ les valeurs d’adhérence de la suite $((v_{n})_{n}=(((-1)^{n}+2,(-1)^n+3))_{n}$
9). On considère la projection $\pi_{1}: (\mathbb{R}^2,\sigma)\longrightarrow (\mathbb{R}, |.|)$
*) Étudier la continuité de $\pi_{1}$ en chaque point de son domaine de définition.
**) Prouver que $\pi_{1} $ n'est pas un homéomorphisme.
Voilà pour l’exercice j'aimerais bien que vous m’aidiez à le faire pour n'oublier aucun détail.
S'il vous plait, merci.
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Bonjour, j'ai un exercice et je trouve quelques difficultés à le faire.
Voilà l’exercice :
On pose $\Omega_{r} =\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ x^2+y^2=r^2 ,\ r\in \mathbb{R}_{+}\right\rbrace $On désigne par $\sigma$ la famille constituée de $\emptyset$ et de toutes les unions des ensembles $\Omega_{r}$
1). Prouver que $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ est un espace topologique.
2). Prouver que chaque élément $\Omega_{r}$ de $\sigma$ est ouvert et fermé.
3). Comparer les deux topologies $\sigma$ et $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$.
4). L'espace $(\mathbb{R}^2 ,\sigma)$ est-il séparé ?
On pose : $A=[-1,1] \times [-2,2]$
5). Déterminer $\overline{A}$ et $ A^{\circ}$
6). Déterminer deux ouverts de la topologie trace $\sigma_{A}$, non vide et n'est pas identique a $A$
7). Étudier dans $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ la nature de la suite $(u_{n})_{n}=((\sin {n}, \cos{n})_{n})_{n}$
8). Déterminer dans $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ les valeurs d’adhérence de la suite $((v_{n})_{n}=(((-1)^{n}+2,(-1)^n+3))_{n}$
9). On considère la projection $\pi_{1}: (\mathbb{R}^2,\sigma)\longrightarrow (\mathbb{R}, |.|)$
*) Étudier la continuité de $\pi_{1}$ en chaque point de son domaine de définition.
**) Prouver que $\pi_{1} $ n'est pas un homéomorphisme.
Voilà pour l’exercice j'aimerais bien que vous m’aidiez à le faire pour n'oublier aucun détail.
S'il vous plait, merci.
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Réponses
$\sigma$ n'est-elle pas composée de $\emptyset$ et de l'ensemble des $\Omega_{r}$ où $r\in\R_+$ ? (et non de l'union...)
$\emptyset \in \sigma$ par définition , pour chaque ($\Omega_{r})_{r \in L \subset \mathbb{R_{+}} }$ l'union appartiens aussi a $\sigma $ par définition
reste a prouver que $\mathbb{R}^2 \in \sigma$ ,je pense que je doit prouver que $\mathbb{R}^2 = \displaystyle\bigcup_{r\in\mathbb{R}_{+}} \Omega_r}$
et faut prouver que $\Omega_{r_{1}} \cap \Omega_{r_{2}} \in \Omega_{r}$
@kiroro, tu es bien parti. Une topologie est définie comme un ensemble de parties stable par réunion quelconque, stable par intersection finie et contenant le vide et l'ensemble total.
Comme tu l'indiques, par définition de l'exercice le vide appartient à la Sigma et toute réunion (quelconque y compris infinie) aussi.
Concernant |R2 : pense à la réunion de tous les cercles (réunion infinie pour tout r de |R+) : cela donne quoi ?
Concernant l'intersection : c'est relativement facile à montrer : quel est le résultat de l'intersection de deux cercles centrés sur O, l'un de rayon r1 et l'autre de rayon r2 ?
pour $\mathbb{R}^2$ il faut que je sache comment bien rédiger
si $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ comment déduire que $(x,y)$ est dans l'union?
s'il vous plait
merci
En fait, il faut prendre deux ensembles de cercles concentriques (ce à quoi ressemblent les parties de $\sigma$), leur intersection contient aussi des cercles concentriques et elle est dans $\sigma$.
-- Schnoebelen, Philippe
Pour la réunion, il suffit de poser cela comme suit (désolé je ne maîtrise pas LaTeX alros c'est très littéral) :
|R2 = U(r appartient à |R+)(OMEGAr)
|R2 est la réunion de tous les cercles de rayon r pour r appartenant à |R+ : en effet, pour tout point (x,y) de |R2, on peut trouver un OMEGAr contenant ce point, il suffit de prendre r = (x2+y2)1/2
pour la 2) il est claire que tout élément de $\sigma$ est un ouvert ,pour qu'il soit aussi fermé son complémentaire doit être aussi un ouvert , le complémentaire de $\Omega_{r}$ c'est les (x,y) de $\mathbb{R}^2$ tq $x^2+y^2 \neq r^2$ c'est a dire plus grand ou plus petit que $r^2$ et $r \in \mathbb{R}_{+}$
et je n'arrive pas a voir si il est vraiment ouvert !
pour la 3) il me semble que les deux topologies sont incomparable !
pour la 4). l'espace n'est pas séparer parce que les ouverts ce coupent ,on ne peux pas trouver pour deux élément de $\mathbb{R}^2$ on ne peux pas trouver deux voisinages distinct
Tu sais qu'une réunion d'ouverts est un ouvert, non?
N'importe quelle topologie est contenue dans ${\cal P}(\R^2)$, non?
Comment sépares-tu deux éléments du même cercle?
Tu dis donc que $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ est plus fine que $\sigma$
Merci.
s'il vous plait
Un ouvert de la topologie $\sigma$, est une réunion de cercle $\Omega_{r}$ pour $r$ appartenant à un sous-ensemble $E$ de $\R_+$.
Par conséquent son complémentaire est la réunion des cercles $\Omega_{r'}$ pour $r'$ appartenant à $\R_+\setminus E$.
Son complémentaire est donc réunion d'ouverts... je te laisse finir.
Pour $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ il s'agit de l'ensemble de toutes les parties de $\R^2$, ce qui définit la topologie discrète qui est la topologie la plus fine possible et qui contient toutes les autres topologies. À la question de comparaison posée, il faut simplement dire si $\sigma$ est égale ou pas à la topologie discrète.
Enfin pour la question 4, le truc n'est pas de savoir si les cercles se coupent (d'ailleurs deux cercles concentriques ne se coupent que quand ils sont identiques), mais de savoir si en prenant 2 points quelconques $P$ et $Q$ on peut trouver deux ouverts disjoints $O_P$ et $O_Q$, l'un contenant $P$ et l'autre contenant $Q$ ; si par contre l'espace n'est pas séparé il suffit de trouver deux points distincts pour lesquels tout ouvert contenant l'un contient l'autre. À ton avis ?
[Tant qu'à écrire en $\LaTeX$, faisons le jusqu'au bout. AD]
Pour prouver que $\Omega_{r}$ est fermé dans $\sigma$, on doit prouver que son complémentaire est ouvert dans $\sigma$.
$\Omega_{r}=\left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=r^2,\ r\in \mathbb{R}_{+}\right\rbrace$
le complémentaire de $\Omega_{r}$ est, si je ne me trompe pas
$\left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2\mid x^2+y^2 \neq r^2 ,\ r\in \mathbb{R}_{+} \right\rbrace $
et là, je ne vois pas comment peut-il être un ouvert ?
Je reviens à ce que l'ami a dit avant ça ; je prends $A= \left\lbrace r,\ r\in \mathbb{R}_{+} \right\rbrace$ ?
S'il vous plait
Merci
Dans le cas de $\R^2\setminus \Omega_r$, comment peux-tu faire ? (les deux mécanismes sont utilisables)
Tu devrais peut-etre commencer par bien approfondir les bases avant de te lancer dans des exos de topologie compliques...
mais la ça un sens ci je dit que le complémentaire est $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2,\ x^2+y^2 =r^2 ,\ r\in \mathbb{R} _{-} \}$
Il me semble que c'est très faux ça !
Et tu te rends bien compte que l'ensemble que tu as ecrit dans ton dernier message est reduit a un point ? (lequel ?)
le point c'est (0,0) ?
Tu as fait un dessin comme je te l'avais conseille ? a la lumiere de ce dessin, penses-tu que le complementaire de $ \Omega_{r}$ soit un point ?
En regardant ton dessin, peux-tu decrire le complementaire de $ \Omega_{r}$ ? est-ce qu'il contient d'autres cercles $ \Omega_{u}$ ? si oui, lesquels ?
> il contien d'autre $\Omega_{u}$ u plus grand que r
> et les plus petit aussi
Tu te rapproches de la solution : peut-tu être plus précis ? "il contient d'autres plus grands", lesquels in extenso ?
bref il me semble que pour tout $\varepsilon$ positif les $\Omega_{r+\varepsilon}$ et $\Omega_{r-\varepsilon}$
s'il vous plait, c'est juste ce que j'ai dit ?
"il me semble que pour tout $\varepsilon$ positif les $\Omega_{r+\varepsilon}$ et $\Omega_{r-\varepsilon}$"
Ce n'est pas une phrase. Ca n'a absolument aucun sens. Ce n'est donc ni vrai ni faux. On peut évidemment jouer à deviner ce que tu as bien pu vouloir dire mais je n'ai pas du tout envie de jouer à ce jeu. Je pense que ce ne serait pas te rendre service.
Fais des phrases !
il me semble que c'est juste
Bon, et donc, est-ce que tu ne pourrais pas trouver une certaine réunion de cercles qui soit incluse dans le complémentaire de $\Omega_r$ ?
D'autre part, tous les réels positifs distincts de $r$ ne sont pas nécessairement strictement supérieurs à $\R$, il te manque du monde.
(au passage, le "$\subset \R_+$" en indice est au mieux strictement inutile, au pire nocif à la compréhension)
Par exemple, au lieu d'écrire "$A \subset \R_+$", tu écris "A est un sous-ensemble de $\R_+$" et si tu voulais en fait dire que A est un élément de $\R_+$ (un réel positif) tu comprends tout de suite l'erreur que tu commets.
Et nous on comprends aussi ce que tu veux dire car comme l'a indiqué egorfffski, $(\Omega_{u})_{u\in ]r, +\infty [ \subset \mathbb{R}_{+}}}$ ne signifie pas grand chose ou en tout cas on ne comprend pas ce que tu veux dire (est-ce que tu parles d'une famille d'ensembles ? d'une réunion d'ensembles ? Que signifie le $_{\subset \R_+}$ en fin d'indice ?).
c'est a dire que le complémentaire de $\Omega_{r}$ contient une réunion d'ouverts $\Omega_{u}$ tel que $u\in ]r,+\infty[$