Oui, c'est ça ! Tu vois quand tu veux... En revanche, comme je te l'ai déjà dit, en ne considérant que les $u>r$ tu oublies du monde. Du point de vue du dessin, tu n'inclus dans ta réunion que les cercles qui sont à l'extérieur de $\Omega_r$. Est-ce que tu ne pourrais pas trouver une réunion encore plus grande qui soit toujours incluse dans $\left( \Omega_r \right)^c$ ?
PS : Un petit point de rédaction quand même, tu écris
c'est a dire que le complémentaire de $ \Omega_{r}$ contient une réunion d'ouverts $ \Omega_{u}$ tel que $ u\in ]r,+\infty[$
Pourquoi utilises-tu des articles indéfinis ? Y a-t-il plusieurs réunions de ces ouverts ? Non bien sûr. Il faut donc écrire "le complémentaire de $ \Omega_{r}$ contient {\bf la} réunion {\bf des} ouverts $ \Omega_{u}$, pour $ u\in ]r,+\infty[$.
je pense que c'est facile !
pour tous (x,y) de B alors $x^2+y^2 \neq r^2 , r \in \mathbb_{R}_{+}$ c'est a dire que $x^2+y^2 =u^2$ ,tq $u\in \mathbb{R}_{+}-\left\lbrace r\right\rbrace$ donc $(x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$
et donc $(x,y)\in A$
maintenant ,si $(x,y)\in A$ donc $(x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$ ,c'est a dire que $x^2+y^2 \neq r^2 , r\in \mathbb{R}_{+}$ donc $(x,y) \in B$
ce qui veut dire que: $(\Omega_{r})^{c} = \displaystyle\bigcup_{u\in [0,r[\cup]r,+\infty[} \Omega_{u}$
pour tous (x,y) de B (.....) donc $ (x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$
(....)
maintenant ,si $ (x,y)\in A$ donc $ (x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$
Tu veux dire qu'il y a des points qui peuvent être à la fois dans tous les $\Omega_{u}$, $u \neq r$ ? Ca ne te paraît pas un peu curieux ? Tu as regardé ton dessin ?
Ce serait mieux en effet. Est-ce que tu peux donner une démonstration bien propre de l'inclusion $B \subset A$ ? Oublions l'inclusion réciproque pour l'instant, sinon on s'embrouille.
bon ok
soit $(x,y)\in B$ donc il existe $u_{0} \in [0,r[\cup]r,+\infty[$ tq $(x,y) \in \Omega_{u_{0}}$ donc $x^2+y^2 =u_{0}^2 $ et comme $u_{o} \neq r$ alors $x^2+y^2 \neq r^2$ ce qui veux dire que $(x,y) \in A$
lol,
soit $(x,y)\in A$ , c'est a dire que $x^2+y^2 \neq r^2 $ , alors il existe $u_{0} \in \mathbb{R}_{+} - \left\lbrace r \right\rbrace$ tq $x^2+y^2 = u_{0}^2$ donc $(x,y) \in \Omega_{u_{0}} \subset \displaystyle\bigcup _{u \in [0,r[ \cup ]r,+\infty[} \Omega_{u}= B$
L'exercice a choisi une partition particulière de $\R^2$ (en cercles centrés en l'origine), mais il y a une grosse partie de l'exercice que tu peux faire dans le cas général, ce qui t'évitera de te laisser polluer l'esprit par des histoires de cercles ou de sinus, etc
Je t'écris un autre exo (pour plus tard éventuellement) qui enlève la particularisation.
1) Soit $E$ un ensemble et $F$ une partition de $E$, c'est à dire un ensemble de parties de $E$ deux à deux disjointes et dont la réunion est $E$. Soit $T$ l'ensemble des $union(X)$ quand $X$ parcourt $P(F)$ et où $union(X):=\{x\in E| \exists t\in X: x\in t\}$. Prouve que $T$ est une topologie sur $E$. Dans la suite, les éléments de $T$ seront appelés les ouverts et les complémentaires dans $E$ des ouverts seront appelés fermés.
2) Soit $x\in E$. Prouve qu'il existe un ouvert $U_x$ tel que $x\in U$ et pour tout ouvert $V$ si $x\in V$ alors $U_x\subseteq V$
3) Prouve que tout ouvert est fermé.
4) Prouve qu'il existe une relation d'équivalence (qu'on notera $==$) sur $E$ telle que $F$ est l'ensemble des classes d'équivalence de $==$ (à l'ensemble vide près, ie prouve que tout élément non vide de $F$ est une classe d'équivalence et réciproquement).
5) La classe d'équivalence d'un élément $x\in E$ sera notée $classe(x)$. Prouve que $Classe(x)=U_x$ (défini en (2))
Soit $u$ une suite à termes dans $E$ et $a\in E$. Prouve que $u$ converge vers $a$ si et seulement s'il existe $N\in \N$ tel que $\forall p\geq N: classe(u_p)=classe(a)$
6) Soit $f$ une application de $E$ dans $E$. Prouve qu'elle est continue de $(E,T)$ dans $(E,T)$ si et seulement si elle est compatible avec $==$, ie $\forall x,y: (x==y$ implique $f(x)==f(y))$
7) Pour faire le (6), tu passeras pas l'étape: $f$ est continue en $a$ ssi $\forall x\in Classe(a): f(x)\in classe(f(a))$, que tu peux prouver avant.
8) Soit $(H,T_2)$ un espace topologique séparé quelconque et $f$ continue de $(E,T)$ dans $(H,T_2)$. Prouve que $\forall (x,y)\in E^2: $ si $x==y$ alors $f(x)=f(y)$.
9) Prouve la réciproque
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
il est vrai que non !
$x\in \overline{A} \Leftrightarrow \forall V \in \mathcal{V}_{x} V\cap A \neq \emptyset $
est quand je vois mon dessin les ouvets qui coupent A sont $\Omega_{1}$ et $\Omega_{2}$ , mais un voisinage n'est spécialement ouvert ,il contient un ouvert
kiroro écrivait:
> il me semble que $\Omega_{u}, u\leqslant 1$ sont
> les seuls ouverts inclus dans $A$
Non. Par contre ce sont bien les seuls cercles centrés en $0$ et inclus dans $A$.
Pourquoi ne cherches-tu pas à faire des preuves, au lieu de demander des confirmations de tes idées toutes les 3 minutes ? L'un des aspects importants et intéressants des maths est que, une fois que l'on a compris ce qu'était l'activité mathématique, on peut vérifier soit-même si on a une preuve ou non (ce qui permet d'espérer faire des maths tout seul ensuite). Sinon, tout cela ne mène nulle part. Je me répète ?
Salut;
J'ai un exercice, je l'ai résolu, j'aimerais savoir si c'est juste :
Pour tout $r \in \mathbb{R}_{+}$ on pose : $$\Omega_{r} = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ x=r \cos t ,\ y = r \sin t ;\ t \in [0,2 \pi[ \right\rbrace$$ et on considère la famille : $\sigma= \left\lbrace \Omega_{r} , r\in \mathbb{R}_{+} \right\rbrace$.
On munit $\mathbb{R}^2$ de la topologie $\tau$ qui admet la famille $\sigma$ comme base
soit la partie $A = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ |x+y| > 2 \right\rbrace $.
1) Représenter dans un repère orthonormé $A$ (c'est partie supérieure à $y=2-x$ union la partie inférieure à $y=-2-x$)
2) Déterminer $\overline{A}$($\overline {A}=\mathbb{R}^2 \setminus \left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 ,\ |y+x| < 2 \right\rbrace$ , et $A^{\circ}$ (=$\emptyset$)
3) Déduire la nature topologique de $A$ (ni fermé ni ouvert)
S'il vous plait
Merci
[Restons dans la même discussion pour les toutes les questions de ton problème. AD]
pour la topologie trace $\sigma_{A}$
il y a $\emptyset$ et$A$, pour trouver le reste il faut trouver les r qui permetent a $(x,y)$ d’appartenir a $\Omega_{r} \cap A$, donc je pense que $\sigma_{A}$ de l'ensemble vide ,de A et de toutes les unions de $\Omega_{r} , r\in [0,5]$
Je t'ai déjà répondu. Le simple fait que ton candidat adhérence ne soit pas fermé devrait te mettre la puce à l'oreille. Par ailleurs je n'ai pas compris ton dernier message. Et enfin, tout cela suggère que tu n'avais effectivement pas compris ce qui précédait ("je comprend mieux" est déjà assez inquiétant en fait...).
Réponses
PS : Un petit point de rédaction quand même, tu écris Pourquoi utilises-tu des articles indéfinis ? Y a-t-il plusieurs réunions de ces ouverts ? Non bien sûr. Il faut donc écrire "le complémentaire de $ \Omega_{r}$ contient {\bf la} réunion {\bf des} ouverts $ \Omega_{u}$, pour $ u\in ]r,+\infty[$.
comme ça : $\displaystyle\bigcup_{u\in[0,r[\cup ]r, +\infty[} \Omega_{u} \subset (\Omega_{r})^{c}$
Quel est ton sentiment sur l'inclusion réciproque ?
comment l'inclusion réciproque ?
pour tous (x,y) de B alors $x^2+y^2 \neq r^2 , r \in \mathbb_{R}_{+}$ c'est a dire que $x^2+y^2 =u^2$ ,tq $u\in \mathbb{R}_{+}-\left\lbrace r\right\rbrace$ donc $(x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$
et donc $(x,y)\in A$
maintenant ,si $(x,y)\in A$ donc $(x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$ ,c'est a dire que $x^2+y^2 \neq r^2 , r\in \mathbb{R}_{+}$ donc $(x,y) \in B$
ce qui veut dire que: $(\Omega_{r})^{c} = \displaystyle\bigcup_{u\in [0,r[\cup]r,+\infty[} \Omega_{u}$
soit $(x,y)\in B$ donc il existe $u_{0} \in [0,r[\cup]r,+\infty[$ tq $(x,y) \in \Omega_{u_{0}}$ donc $x^2+y^2 =u_{0}^2 $ et comme $u_{o} \neq r$ alors $x^2+y^2 \neq r^2$ ce qui veux dire que $(x,y) \in A$
Tu pourras ensuite conclure (ouf).
soit $(x,y)\in A$ , c'est a dire que $x^2+y^2 \neq r^2 $ , alors il existe $u_{0} \in \mathbb{R}_{+} - \left\lbrace r \right\rbrace$ tq $x^2+y^2 = u_{0}^2$ donc $(x,y) \in \Omega_{u_{0}} \subset \displaystyle\bigcup _{u \in [0,r[ \cup ]r,+\infty[} \Omega_{u}= B$
A=B, B est un ouvert(réunion d'ouverts) donc $A =( \Omega_{r})^{c}$ est ouvert ,d'ou $\Omega_{r}$ est fermé
Je t'écris un autre exo (pour plus tard éventuellement) qui enlève la particularisation.
1) Soit $E$ un ensemble et $F$ une partition de $E$, c'est à dire un ensemble de parties de $E$ deux à deux disjointes et dont la réunion est $E$. Soit $T$ l'ensemble des $union(X)$ quand $X$ parcourt $P(F)$ et où $union(X):=\{x\in E| \exists t\in X: x\in t\}$. Prouve que $T$ est une topologie sur $E$. Dans la suite, les éléments de $T$ seront appelés les ouverts et les complémentaires dans $E$ des ouverts seront appelés fermés.
2) Soit $x\in E$. Prouve qu'il existe un ouvert $U_x$ tel que $x\in U$ et pour tout ouvert $V$ si $x\in V$ alors $U_x\subseteq V$
3) Prouve que tout ouvert est fermé.
4) Prouve qu'il existe une relation d'équivalence (qu'on notera $==$) sur $E$ telle que $F$ est l'ensemble des classes d'équivalence de $==$ (à l'ensemble vide près, ie prouve que tout élément non vide de $F$ est une classe d'équivalence et réciproquement).
5) La classe d'équivalence d'un élément $x\in E$ sera notée $classe(x)$. Prouve que $Classe(x)=U_x$ (défini en (2))
Soit $u$ une suite à termes dans $E$ et $a\in E$. Prouve que $u$ converge vers $a$ si et seulement s'il existe $N\in \N$ tel que $\forall p\geq N: classe(u_p)=classe(a)$
6) Soit $f$ une application de $E$ dans $E$. Prouve qu'elle est continue de $(E,T)$ dans $(E,T)$ si et seulement si elle est compatible avec $==$, ie $\forall x,y: (x==y$ implique $f(x)==f(y))$
7) Pour faire le (6), tu passeras pas l'étape: $f$ est continue en $a$ ssi $\forall x\in Classe(a): f(x)\in classe(f(a))$, que tu peux prouver avant.
8) Soit $(H,T_2)$ un espace topologique séparé quelconque et $f$ continue de $(E,T)$ dans $(H,T_2)$. Prouve que $\forall (x,y)\in E^2: $ si $x==y$ alors $f(x)=f(y)$.
9) Prouve la réciproque
$\overline{A}=A$ et $ A^{\circ} ]-1,1[ \times ]-2,2[$ ?
Pourrais-tu décrire (avec des mots) ce que sont les ouverts de ton espace topologique ?
$x\in \overline{A} \Leftrightarrow \forall V \in \mathcal{V}_{x} V\cap A \neq \emptyset $
est quand je vois mon dessin les ouvets qui coupent A sont $\Omega_{1}$ et $\Omega_{2}$ , mais un voisinage n'est spécialement ouvert ,il contient un ouvert
Au fait, ta première proposition pour l'intérieur et l'adhérence, elle sortait d'où ?
il me semble que $\Omega_{u}, u\leqslant 1$ sont les seuls ouverts inclus dans $A$
> il me semble que $\Omega_{u}, u\leqslant 1$ sont
> les seuls ouverts inclus dans $A$
Non. Par contre ce sont bien les seuls cercles centrés en $0$ et inclus dans $A$.
Pourquoi ne cherches-tu pas à faire des preuves, au lieu de demander des confirmations de tes idées toutes les 3 minutes ? L'un des aspects importants et intéressants des maths est que, une fois que l'on a compris ce qu'était l'activité mathématique, on peut vérifier soit-même si on a une preuve ou non (ce qui permet d'espérer faire des maths tout seul ensuite). Sinon, tout cela ne mène nulle part. Je me répète ?
mais l’intérieure de A est bien le disque de rayon 1
J'ai un exercice, je l'ai résolu, j'aimerais savoir si c'est juste :
Pour tout $r \in \mathbb{R}_{+}$ on pose : $$\Omega_{r} = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ x=r \cos t ,\ y = r \sin t ;\ t \in [0,2 \pi[ \right\rbrace$$ et on considère la famille : $\sigma= \left\lbrace \Omega_{r} , r\in \mathbb{R}_{+} \right\rbrace$.
On munit $\mathbb{R}^2$ de la topologie $\tau$ qui admet la famille $\sigma$ comme base
soit la partie $A = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ |x+y| > 2 \right\rbrace $.
1) Représenter dans un repère orthonormé $A$ (c'est partie supérieure à $y=2-x$ union la partie inférieure à $y=-2-x$)
2) Déterminer $\overline{A}$($\overline {A}=\mathbb{R}^2 \setminus \left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 ,\ |y+x| < 2 \right\rbrace$ , et $A^{\circ}$ (=$\emptyset$)
3) Déduire la nature topologique de $A$ (ni fermé ni ouvert)
S'il vous plait
Merci
[Restons dans la même discussion pour les toutes les questions de ton problème. AD]
il y a $\emptyset$ et$A$, pour trouver le reste il faut trouver les r qui permetent a $(x,y)$ d’appartenir a $\Omega_{r} \cap A$, donc je pense que $\sigma_{A}$ de l'ensemble vide ,de A et de toutes les unions de $\Omega_{r} , r\in [0,5]$
c'est juste au moins ?