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Une topologie sur R2

Envoyé par kiroro 
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
ah ok ok , j'ai écrit n'importe quoi , je devais écrire ça : $\displaystyle\bigcup_{u\in ]r, +\infty[} \Omega_{u} \subset (\Omega_{r})^{c}$
c'est a dire que le complémentaire de $\Omega_{r}$ contient une réunion d'ouverts $\Omega_{u}$ tel que $u\in ]r,+\infty[$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Oui, c'est ça ! Tu vois quand tu veux... En revanche, comme je te l'ai déjà dit, en ne considérant que les $u>r$ tu oublies du monde. Du point de vue du dessin, tu n'inclus dans ta réunion que les cercles qui sont à l'extérieur de $\Omega_r$. Est-ce que tu ne pourrais pas trouver une réunion encore plus grande qui soit toujours incluse dans $\left( \Omega_r \right)^c$ ?

PS : Un petit point de rédaction quand même, tu écris
Citation
kiroro
c'est a dire que le complémentaire de $ \Omega_{r}$ contient une réunion d'ouverts $ \Omega_{u}$ tel que $ u\in ]r,+\infty[$
Pourquoi utilises-tu des articles indéfinis ? Y a-t-il plusieurs réunions de ces ouverts ? Non bien sûr. Il faut donc écrire "le complémentaire de $ \Omega_{r}$ contient {\bf la} réunion {\bf des} ouverts $ \Omega_{u}$, pour $ u\in ]r,+\infty[$.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
merci;
comme ça : $\displaystyle\bigcup_{u\in[0,r[\cup ]r, +\infty[} \Omega_{u} \subset (\Omega_{r})^{c}$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Oui, et pourquoi pas ajouter $u=0$ tant qu'on y est. Saurais-tu écrire une démonstration de cette inclusion ?

Quel est ton sentiment sur l'inclusion réciproque ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
je sais pas, j'ai écrit ça on voyons le dessin .
comment l'inclusion réciproque ?
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Tu exemple par. Quand panstu ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Bon, posons $A=\left( \Omega_r \right)^c$ et $B= \bigcup_{u \in [0,r[ \cup ]r,+\infty[} \Omega_u$. Peux-tu démontrer formellement que $B\subset A$ ? Et penses-tu que l'inclusion réciproque, c'est-à-dire $A\subset B$, soit vraie ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
je pense que c'est facile !
pour tous (x,y) de B alors $x^2+y^2 \neq r^2 , r \in \mathbb_{R}_{+}$ c'est a dire que $x^2+y^2 =u^2$ ,tq $u\in \mathbb{R}_{+}-\left\lbrace r\right\rbrace$ donc $(x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$
et donc $(x,y)\in A$
maintenant ,si $(x,y)\in A$ donc $(x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$ ,c'est a dire que $x^2+y^2 \neq r^2 , r\in \mathbb{R}_{+}$ donc $(x,y) \in B$
ce qui veut dire que: $(\Omega_{r})^{c} = \displaystyle\bigcup_{u\in [0,r[\cup]r,+\infty[} \Omega_{u}$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Désolé Kiroro, je ne comprends pas cette démonstration. Quand tu écris :
Citation
kiroro
pour tous (x,y) de B (.....) donc $ (x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$
(....)
maintenant ,si $ (x,y)\in A$ donc $ (x,y) \in \Omega_{u} , \forall u\in [0,r[\cup]r,+\infty[$
Tu veux dire qu'il y a des points qui peuvent être à la fois dans tous les $\Omega_{u}$, $u \neq r$ ? Ca ne te paraît pas un peu curieux ? Tu as regardé ton dessin ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
aaa , je devais dire qu'il existé un $u_{0} \in [0,r[\cup]r,+\infty[$ tq $(x,y)\in \Omega_{u_{0}}$ est donc (x,y) est dans l'union
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Ce serait mieux en effet. Est-ce que tu peux donner une démonstration bien propre de l'inclusion $B \subset A$ ? Oublions l'inclusion réciproque pour l'instant, sinon on s'embrouille.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
bon ok
soit $(x,y)\in B$ donc il existe $u_{0} \in [0,r[\cup]r,+\infty[$ tq $(x,y) \in \Omega_{u_{0}}$ donc $x^2+y^2 =u_{0}^2 $ et comme $u_{o} \neq r$ alors $x^2+y^2 \neq r^2$ ce qui veux dire que $(x,y) \in A$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par kiroro.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Qui est $A$ dans ce texte ? J'ai l'impression que tu as inversé les notations.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Oui, c'est bon j'ai corrigé
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
OK ! Bon, on y arrive ! Et pour l'inclusion réciproque ?

Tu pourras ensuite conclure (ouf).
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
lol,
soit $(x,y)\in A$ , c'est a dire que $x^2+y^2 \neq r^2 $ , alors il existe $u_{0} \in \mathbb{R}_{+} - \left\lbrace r \right\rbrace$ tq $x^2+y^2 = u_{0}^2$ donc $(x,y) \in \Omega_{u_{0}} \subset \displaystyle\bigcup _{u \in [0,r[ \cup ]r,+\infty[} \Omega_{u}= B$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
mdr,
A=B, B est un ouvert(réunion d'ouverts) donc $A =( \Omega_{r})^{c}$ est ouvert ,d'ou $\Omega_{r}$ est fermé
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
L'exercice a choisi une partition particulière de $\R^2$ (en cercles centrés en l'origine), mais il y a une grosse partie de l'exercice que tu peux faire dans le cas général, ce qui t'évitera de te laisser polluer l'esprit par des histoires de cercles ou de sinus, etc

Je t'écris un autre exo (pour plus tard éventuellement) qui enlève la particularisation.

1) Soit $E$ un ensemble et $F$ une partition de $E$, c'est à dire un ensemble de parties de $E$ deux à deux disjointes et dont la réunion est $E$. Soit $T$ l'ensemble des $union(X)$ quand $X$ parcourt $P(F)$ et où $union(X):=\{x\in E| \exists t\in X: x\in t\}$. Prouve que $T$ est une topologie sur $E$. Dans la suite, les éléments de $T$ seront appelés les ouverts et les complémentaires dans $E$ des ouverts seront appelés fermés.

2) Soit $x\in E$. Prouve qu'il existe un ouvert $U_x$ tel que $x\in U$ et pour tout ouvert $V$ si $x\in V$ alors $U_x\subseteq V$

3) Prouve que tout ouvert est fermé.

4) Prouve qu'il existe une relation d'équivalence (qu'on notera $==$) sur $E$ telle que $F$ est l'ensemble des classes d'équivalence de $==$ (à l'ensemble vide près, ie prouve que tout élément non vide de $F$ est une classe d'équivalence et réciproquement).

5) La classe d'équivalence d'un élément $x\in E$ sera notée $classe(x)$. Prouve que $Classe(x)=U_x$ (défini en (2))
Soit $u$ une suite à termes dans $E$ et $a\in E$. Prouve que $u$ converge vers $a$ si et seulement s'il existe $N\in \N$ tel que $\forall p\geq N: classe(u_p)=classe(a)$

6) Soit $f$ une application de $E$ dans $E$. Prouve qu'elle est continue de $(E,T)$ dans $(E,T)$ si et seulement si elle est compatible avec $==$, ie $\forall x,y: (x==y$ implique $f(x)==f(y))$

7) Pour faire le (6), tu passeras pas l'étape: $f$ est continue en $a$ ssi $\forall x\in Classe(a): f(x)\in classe(f(a))$, que tu peux prouver avant.

8) Soit $(H,T_2)$ un espace topologique séparé quelconque et $f$ continue de $(E,T)$ dans $(H,T_2)$. Prouve que $\forall (x,y)\in E^2: $ si $x==y$ alors $f(x)=f(y)$.

9) Prouve la réciproque
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
merci , je le ferai quant je terminerai le premier.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
s'il vous plait, pour $\overline{A}$ et $ A^{\circ}$
$\overline{A}=A$ et $ A^{\circ} ]-1,1[ \times ]-2,2[$ ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Non. Tu as réfléchi deux secondes avant de poster ça ?
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Non.

Pourrais-tu décrire (avec des mots) ce que sont les ouverts de ton espace topologique ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
... Et indiquer également (en français) ce qu'est l'adhérence et l'intérieur.
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
avatar
N'empêche! Elle est marrante cette topologie... Regardez la frontière de $A$!
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
il est vrai que non !
$x\in \overline{A} \Leftrightarrow \forall V \in \mathcal{V}_{x} V\cap A \neq \emptyset $
est quand je vois mon dessin les ouvets qui coupent A sont $\Omega_{1}$ et $\Omega_{2}$ , mais un voisinage n'est spécialement ouvert ,il contient un ouvert
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Commence peut-être avec l'intérieur et vois le plutôt comme la réunion de tous les ouverts inclus dans $A$.

Au fait, ta première proposition pour l'intérieur et l'adhérence, elle sortait d'où ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
avatar
La définition la plus utilisable ici de l'adhérence est "le plus petit fermé qui contient $A$"
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
@Magnolia : la frontière est plus rigolote que celle de $\Q$ (pour la topologie usuelle sur $\R$) ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
de nul part ,une grosse erreur
il me semble que $\Omega_{u}, u\leqslant 1$ sont les seuls ouverts inclus dans $A$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
avatar
Oui, donc...?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
l’intérieure de $A$ est $\bigcup_{u \in [0,1]} \Omega_{u}$ :S
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
avatar
Super! C'est le disque de rayon 1. thumbs downthumbs down
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
kiroro écrivait:
-------------------------------------------------------
> il me semble que $\Omega_{u}, u\leqslant 1$ sont
> les seuls ouverts inclus dans $A$

Non. Par contre ce sont bien les seuls cercles centrés en $0$ et inclus dans $A$.

Pourquoi ne cherches-tu pas à faire des preuves, au lieu de demander des confirmations de tes idées toutes les 3 minutes ? L'un des aspects importants et intéressants des maths est que, une fois que l'on a compris ce qu'était l'activité mathématique, on peut vérifier soit-même si on a une preuve ou non (ce qui permet d'espérer faire des maths tout seul ensuite). Sinon, tout cela ne mène nulle part. Je me répète ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
avatar
Tu as raison, j'aurais du tiquer... mettons les seuls ouverts de la base...
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
oui c'est vrai !
mais l’intérieure de A est bien le disque de rayon 1
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
l’adhérence de A est le disque de rayon 2
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
avatar
Ben voilà!
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
génial merci beaucoup vous m'avais beaucoup aider maintenant je comprend mieux :)
un exercice de topologie
il y a huit années
Salut;
J'ai un exercice, je l'ai résolu, j'aimerais savoir si c'est juste :
Pour tout $r \in \mathbb{R}_{+}$ on pose : $$\Omega_{r} = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ x=r \cos t ,\ y = r \sin t ;\ t \in [0,2 \pi[ \right\rbrace$$ et on considère la famille : $\sigma= \left\lbrace \Omega_{r} , r\in \mathbb{R}_{+} \right\rbrace$.
On munit $\mathbb{R}^2$ de la topologie $\tau$ qui admet la famille $\sigma$ comme base
soit la partie $A = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 ,\ |x+y| > 2 \right\rbrace $.
1) Représenter dans un repère orthonormé $A$ (c'est partie supérieure à $y=2-x$ union la partie inférieure à $y=-2-x$)
2) Déterminer $\overline{A}$($\overline {A}=\mathbb{R}^2 \setminus \left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 ,\ |y+x| < 2 \right\rbrace$ , et $A^{\circ}$ (=$\emptyset$)
3) Déduire la nature topologique de $A$ (ni fermé ni ouvert)
S'il vous plait
Merci

[Restons dans la même discussion pour les toutes les questions de ton problème. AD]
H
Re: Petit exercice de topologie
il y a huit années
Non. Mais as-tu essayé d'écrire une preuve ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
pour la topologie trace $\sigma_{A}$
il y a $\emptyset$ et$A$, pour trouver le reste il faut trouver les r qui permetent a $(x,y)$ d’appartenir a $\Omega_{r} \cap A$, donc je pense que $\sigma_{A}$ de l'ensemble vide ,de A et de toutes les unions de $\Omega_{r} , r\in [0,5]$
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
une preuve pour la l'adhérence et l'intérieure , oui j'ai utilisé la définition !
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Mais la chamboule tout !
c'est juste au moins ?
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Je t'ai déjà répondu. Le simple fait que ton candidat adhérence ne soit pas fermé devrait te mettre la puce à l'oreille. Par ailleurs je n'ai pas compris ton dernier message. Et enfin, tout cela suggère que tu n'avais effectivement pas compris ce qui précédait ("je comprend mieux" est déjà assez inquiétant en fait...).
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
comment sais tu que cette adhérence n'est pas un fermé ?
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Je te répond par une question. Comment as-tu déterminé l'adhérence du $A$ précédent (le rectangle) ?
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
j'ai appliqué la définition !
H
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
Je laisse la main !
Re: Une topologie sur R2
il y a huit années
ok ok c'est bon !
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