espace métrique et topologie
Bonjour
On part de la def d'un espace métrique et on définit les ouverts à partir des boules ouvertes. On veut montrer que (E,d) définit un espace topologique, pour ça il faut montrer que E et l'ensemble vide sont des ouverts : or je ne vois pas comment le montrer !
PS je viens de commencer alors svp pas de choses trop complexes !
On part de la def d'un espace métrique et on définit les ouverts à partir des boules ouvertes. On veut montrer que (E,d) définit un espace topologique, pour ça il faut montrer que E et l'ensemble vide sont des ouverts : or je ne vois pas comment le montrer !
PS je viens de commencer alors svp pas de choses trop complexes !
Réponses
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c'est très très facile .
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- Benpour l' ensemble vide puisqu'il ne contient aucun élément , ca fait bizarre de dire "pour tout x appartenant à le nsemble vide il existe r>0 tel que B(x,r) est inclus dans lensemble vide" cette proposition est néanmoins toujours vraie puisque sa négation est fausse "il existe x appartenant à l' ensemble vide..." donc c est une histoire de logique
-Pour l' ensemble E tout entier si on prend par exemple E={1,2,3,4} muni de la distance usuelle (distance euclidienne) alors E dans mon eemle ne possède aucun ouverts!
Non vraiment je ne vois pas que ce soit de maniere generale ou avec des exemples: svp donnez moi un coup de pouce meme si ca vous parait trivial car ca peut me debloquer et ce n est pas en disant "c' est tres facile" que ca va m' aider. -
Bonsoir.
Quelle est ta définition de "ouvert (à partir des boules ouvertes) ?
E est bien dans ton exemple une boule ouverte, c'est l'ensemble des nombres qui sont à une distance inférieur à 4 de 1.
Cordialement. -
Si $x$ est un élément de $E$ et $r$ un nombre réel strictement positif (quelconque), alors la boule de centre $x$ et de rayon $r$ est bien incluse dans $E$. Ceci étant valable pour tout $x$ de $E$, $E$ est bien un ouvert !
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En réponse à gérard: Humm je ne comprend pas bien, par exemple si je me place en {2} qui appartient à E, je ne pourrais jamais trouvé un rayon suffisemment petit pour qu'il soit inclus dans {2} comme E est "discret" ca ne va pas. Peut etre qu'une démo complete pourrait m eclaircir dles idées
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Essaie avec un rayon $r$ compris entre 0 et 1 !
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Bon si je me place en {2} , je prend r=0.5 du coup je veux voir si B(2,0.5)=]1.5,2.5[ est incluse dans E: ce n est pas le cas
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C'est parce que tu n'es pas dans $\R$ mais dans $E=\{1;2;3;4\}$. La distance "euclidienne" dont tu parles est restreinte à l'ensemble $E$ (ou $E\times E$ plutôt). Donc $B(2;0,5)$, qui est l'ensemble des éléments de $E$ dont la distance à 2 est plus petite que 0,5, ne contient que le nombre 2.
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Ah j' ai vraiment du mal, je verrais ca a tete reposé!
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Mais pourquoi au fait veux-tu inclure une boule dans $\{2\}$ ?
Si tu veux montrer que $E$ est ouvert (et si j'ai bien deviné ta définition) il s'agit de montrer qu'en tout point de $E$ tu peux centrer une boule ouverte incluse dans $E$ non ? -
@ dfshr8
Tu veux sans doute écrire :
Ah ! J'ai vraiment du mal, je verrai ça à tête reposée !
Non ? -
Oui désolé pour l' orthographe, je veux aller vite et je suis très fatigué après mon travail (qui n' est en plus pas stimulant puisqu'il s' agit de caissier au mac do).
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Pour éclaircir,
et en espérant que tu as la tête en meilleur état, si tu travailles sur $ E=\{1;2;3;4\}$, tu ne travailles plus sur les réels, mais seulement sur 4 nombres. La distance entre 2 éléments de E est encore la valeur absolue de leur différence, par exemple la distance entre 2 et 4 est 2.
La boule de centre 1 et de rayon 4 dont je parlais est par définition l'ensemble des éléments de E qui est à moins de 4 de distance de 1, donc E tout entier. La boule de centre 2 et de rayon 1/2 est l'ensemble des éléments de E dont la distance à 2 est inférieure à 1/2, donc c'est $\{2\}$.
dans cet exemple, tous les singletons sont à la fois boule ouverte et boule fermée. La topologie ainsi définie est la topologie discrète.
Cordialement. -
On peut aussi le présenter comparativement ainsi. Voici deux définitions d'une boule ouverte, laquelle est une boule ouverte de E ?
$B(2, \frac {1}{2}) = \{ x \in E, \ d(2, x) < \frac {1}{2} \}$
$B'(2, \frac {1}{2}) = \{ x \in \R, \ d(2, x) < \frac {1}{2} \}$
La première ligne ($B$) est la boule ouverte dans $E$. La seconde ($B'$) est la boule ouverte dans $\R$ -
Merci beaucoup!!
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Juste pour approfondir mon dernier message :
Tu peux remarquer que $B = B' \cap E$ ce qui découle d'ailleurs de la définition des ouverts de la topologie induite (si X est un espace topologique et Y une partie de X, la topologie "induite" de Y est constituée de l'intersection des ouverts de X avec Y ; et si Y n'estpas lui-même un ouvert de X, les ouverts de Y ne sont pas nécessairement des ouverts de X).
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