espace métrique et topologie
Bonjour
On part de la def d'un espace métrique et on définit les ouverts à partir des boules ouvertes. On veut montrer que (E,d) définit un espace topologique, pour ça il faut montrer que E et l'ensemble vide sont des ouverts : or je ne vois pas comment le montrer !
PS je viens de commencer alors svp pas de choses trop complexes !
On part de la def d'un espace métrique et on définit les ouverts à partir des boules ouvertes. On veut montrer que (E,d) définit un espace topologique, pour ça il faut montrer que E et l'ensemble vide sont des ouverts : or je ne vois pas comment le montrer !
PS je viens de commencer alors svp pas de choses trop complexes !
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Réponses
-Pour l' ensemble E tout entier si on prend par exemple E={1,2,3,4} muni de la distance usuelle (distance euclidienne) alors E dans mon eemle ne possède aucun ouverts!
Non vraiment je ne vois pas que ce soit de maniere generale ou avec des exemples: svp donnez moi un coup de pouce meme si ca vous parait trivial car ca peut me debloquer et ce n est pas en disant "c' est tres facile" que ca va m' aider.
Quelle est ta définition de "ouvert (à partir des boules ouvertes) ?
E est bien dans ton exemple une boule ouverte, c'est l'ensemble des nombres qui sont à une distance inférieur à 4 de 1.
Cordialement.
Si tu veux montrer que $E$ est ouvert (et si j'ai bien deviné ta définition) il s'agit de montrer qu'en tout point de $E$ tu peux centrer une boule ouverte incluse dans $E$ non ?
Tu veux sans doute écrire :
Ah ! J'ai vraiment du mal, je verrai ça à tête reposée !
Non ?
et en espérant que tu as la tête en meilleur état, si tu travailles sur $ E=\{1;2;3;4\}$, tu ne travailles plus sur les réels, mais seulement sur 4 nombres. La distance entre 2 éléments de E est encore la valeur absolue de leur différence, par exemple la distance entre 2 et 4 est 2.
La boule de centre 1 et de rayon 4 dont je parlais est par définition l'ensemble des éléments de E qui est à moins de 4 de distance de 1, donc E tout entier. La boule de centre 2 et de rayon 1/2 est l'ensemble des éléments de E dont la distance à 2 est inférieure à 1/2, donc c'est $\{2\}$.
dans cet exemple, tous les singletons sont à la fois boule ouverte et boule fermée. La topologie ainsi définie est la topologie discrète.
Cordialement.
$B(2, \frac {1}{2}) = \{ x \in E, \ d(2, x) < \frac {1}{2} \}$
$B'(2, \frac {1}{2}) = \{ x \in \R, \ d(2, x) < \frac {1}{2} \}$
La première ligne ($B$) est la boule ouverte dans $E$. La seconde ($B'$) est la boule ouverte dans $\R$
Tu peux remarquer que $B = B' \cap E$ ce qui découle d'ailleurs de la définition des ouverts de la topologie induite (si X est un espace topologique et Y une partie de X, la topologie "induite" de Y est constituée de l'intersection des ouverts de X avec Y ; et si Y n'estpas lui-même un ouvert de X, les ouverts de Y ne sont pas nécessairement des ouverts de X).