Boules ouvertes de R

Utilisateur anonyme · October 2012

Bonsoir à tous,

J'ai besoin de montrer que : $ \forall x,x' \in \mathbb{R} \ \forall r,r' > 0 $ : $ B(x+x' , r+r' ) \subset B(x,r) + B(x' , r' ) $.

Merci pour votre aide.

Utilisateur anonyme · October 2012

Peut être que si on choisit $ \alpha \in B(x+x' , r+r' ) $, on montre qu'il existe $ \beta \in B(x',r') $, tel que : $ \alpha = ( \alpha - \beta ) + \beta $, avec $ \alpha - \beta \in B(x,r) $.
En fait, la question a été posé autrement, donc, je ne sais pas encore si, en réalité : $ \forall x,x' \in \mathbb{R} \ \forall r,r' > 0 $ : $ B(x+x' , r+r' ) \subset B(x,r) + B(x' , r' ) $. Mais, je pense que c'est vrai ( Juste par intuition )
Désolé de cette manière un peu tordu de poser cette question.

Crapul · October 2012

Un contre-exemple : $x=5,x'=10,r=r'=1$, ça se voit bien sur un dessin. On ne peut pas obtenir $15$ par exemple.
Edit : euh ben si en fait...désolé !

Utilisateur anonyme · October 2012

Merci @Crapul dans tous les cas. J'attends l'avis des autres sur cette question aussi.
Comment établir rigoureusement, et en n'utilisant que les définitions que :
$ \forall x \in X $ : $ d(x,A) = 0 \ \Longrightarrow \ x \in \overline{A} $
$ (X,d) $ est un espace métrique et $ A \subset X $.
Merci d'avance.

Baggins · October 2012

C'est quoi $B(x,r)+B(x',r')$ ? J'ai du mal avec le \og $+$\fg{}.

Baggins · October 2012

Pour ton autre question :

Soit $x\in X$. Par définition, $d(x,A)=\inf_{y\in A} d(x, y)$ donc si $d(x,A)=0$ il existe une suite d'éléments $(y_n)$ de $A$, (par définition de la borne inférieure) telle que $d(x,y_n)$ tend vers $0$, en d'autres termes, $y_n\to x$ quand $n\to\infty$. Donc $x\in \overline A$.

Utilisateur anonyme · October 2012

$ + $ : c'est l'addition dans $ \mathbb{R} $.

Baggins · October 2012

Mais c'est plutôt $\cup$ qu'il faudrait utiliser dans ce cas.

Utilisateur anonyme · October 2012

Soit $ r,r'> 0 $, alors, par définition : $ B(x,r) + B(x' , r' ) = \{ y+y' \ / \ (y,y') \in B(x,r) \times B(x',r') \} $

Heddi · October 2012

Bonjour,

Si je comprends bien tes boules ouvertes sont des intervalles de $\R$ : $B(z,t) = ]z-t; z+t[$ ?

Il me semble alors que l'inclusion inverse est triviale à démontrer (mais ce n'est pas ta question...)

Pour l'inclusion recherchée, piste à explorer : si $\alpha$ est dans $B+B'$, que peut-on dire de $\alpha - x'$ ? Et je pense qu'il y a ensuite 3 cas à examiner pour arriver à la conclusion.

GG · October 2012

@Pablo,
dans un espace vectoriel normé, R dans ton exemple, je note N(x) pour la norme de x.

B(0,r) = { x | N(x) < r }
B(0,s) = { x | N(x) < s }

B(0,r+s) = B(0,r) + B(0,s)

(si N(x) < r et N(y) < s, alors N(x+y) <= N(x) + N(y) < r+s. Réciproquement, si 0 < N(x) < r+s, on peut trouver deux réels positifs a et b tels que a < r, b < s, a+b = N(x). Alors ax/N(x) € B(0,r), bx/N(x) € B(0,s), et ax/N(x) + bx/N(x) = x.)

B(x+y,r+s) = x + y + B(0,r+s) = x + B(0,r) + y + B(0,s) = B(x,r) + B(y,s)

Boules ouvertes de R

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