Boules ouvertes de R
Bonsoir à tous,
J'ai besoin de montrer que : $ \forall x,x' \in \mathbb{R} \ \forall r,r' > 0 $ : $ B(x+x' , r+r' ) \subset B(x,r) + B(x' , r' ) $.
Merci pour votre aide.
J'ai besoin de montrer que : $ \forall x,x' \in \mathbb{R} \ \forall r,r' > 0 $ : $ B(x+x' , r+r' ) \subset B(x,r) + B(x' , r' ) $.
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Réponses
En fait, la question a été posé autrement, donc, je ne sais pas encore si, en réalité : $ \forall x,x' \in \mathbb{R} \ \forall r,r' > 0 $ : $ B(x+x' , r+r' ) \subset B(x,r) + B(x' , r' ) $. Mais, je pense que c'est vrai ( Juste par intuition )
Désolé de cette manière un peu tordu de poser cette question.
Edit : euh ben si en fait...désolé !
Comment établir rigoureusement, et en n'utilisant que les définitions que :
$ \forall x \in X $ : $ d(x,A) = 0 \ \Longrightarrow \ x \in \overline{A} $
$ (X,d) $ est un espace métrique et $ A \subset X $.
Merci d'avance.
Soit $x\in X$. Par définition, $d(x,A)=\inf_{y\in A} d(x, y)$ donc si $d(x,A)=0$ il existe une suite d'éléments $(y_n)$ de $A$, (par définition de la borne inférieure) telle que $d(x,y_n)$ tend vers $0$, en d'autres termes, $y_n\to x$ quand $n\to\infty$. Donc $x\in \overline A$.
Si je comprends bien tes boules ouvertes sont des intervalles de $\R$ : $B(z,t) = ]z-t; z+t[$ ?
Il me semble alors que l'inclusion inverse est triviale à démontrer (mais ce n'est pas ta question...)
Pour l'inclusion recherchée, piste à explorer : si $\alpha$ est dans $B+B'$, que peut-on dire de $\alpha - x'$ ? Et je pense qu'il y a ensuite 3 cas à examiner pour arriver à la conclusion.
dans un espace vectoriel normé, R dans ton exemple, je note N(x) pour la norme de x.
B(0,r) = { x | N(x) < r }
B(0,s) = { x | N(x) < s }
B(0,r+s) = B(0,r) + B(0,s)
(si N(x) < r et N(y) < s, alors N(x+y) <= N(x) + N(y) < r+s. Réciproquement, si 0 < N(x) < r+s, on peut trouver deux réels positifs a et b tels que a < r, b < s, a+b = N(x). Alors ax/N(x) € B(0,r), bx/N(x) € B(0,s), et ax/N(x) + bx/N(x) = x.)
B(x+y,r+s) = x + y + B(0,r+s) = x + B(0,r) + y + B(0,s) = B(x,r) + B(y,s)