Filtres co-cauchyssois
dans Topologie
C'est une notion que j'ai inventée B-)
Mais elle est trop élémentaire pour que personne n'y ait pensé avant moi.
Je voudrais donc savoir comment elle s'appelle.
Car elle a sûrement un nom, plus joli que celui de «filtres co-cauchyssois».
Voici ce dont il s'agit:
Soit $E$ espace métrique.
Je rappelle qu'un filtre $\mathcal F$ sur $E$ possède la propriété de Cauchy - je suppose qu'on peut dire plus simplement «est un filtre de Cauchy» - ssi:
$\forall \epsilon > 0, \exists A \in \mathcal F, diam(A) \le \epsilon$
Supposons maintenant qu'on ait deux filtres de Cauchy $\mathcal F$ et $\mathcal G$ sur $E$.
On vérifie facilement que l'intersection de deux filtres (et même d'une collection quelconque de filtres) sur un ensemble donné est un filtre sur cet ensemble.
Mais le filtre intersection $\mathcal H = \mathcal F \cap \mathcal G$ de nos deux filtres de Cauchy n'est pas nécessairement un filtre de Cauchy. Quand il l'est, je dis que $\mathcal F$ et $\mathcal G$ sont co-cauchyssois, ou encore filtres de Cauchy concordants. Cela signifie que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $A$ commun aux deux filtres et dont le diamètre est $\le \epsilon$.
Ma question est donc: y a-t-il un terme officiel pour cette notion?
Intérêt de ces filtres co-cauchyssois:
Dans un espace métrique complet, un filtre de Cauchy est un filtre convergent. Dans un espace métrique non nécessairement complet, on peut dire que le filtre de Cauchy converge dans le complété de l'espace; plus exactement, que son image par l'injection canonique converge.
converge dans le complété $\leftrightarrow$ est de Cauchy
Maintenant, dans par exemple le théorème de la double limite, on a une conclusion du genre: «ces trois fonctions, définies sur $E$, convergent, dans le complété de $E$, vers le même point». Je n'aime pas ce passage obligatoire par le complété de $E$, alors qu'on sent bien qu'on est en train de décrire une propriété, en réalité, intrinsèque à ces fonctions en tant que fonctions dans $E$. Après avoir tâtonné, je suis tombé sur le fait que «convergent vers un même point dans le complété» peut s'énoncer simplement en termes de filtres sur $E$, sans aucune référence au complété: il s'agit du fait que les filtres correspondants à chacune des trois fonctions sont de Cauchy (ce qui correspond à la convergence dans le complété), et qu'ils sont «co-cauchyssois» (ce qui correspond à la convergence vers un même point dans le complété).
convergent dans le complété vers un même point $\leftrightarrow$ sont co-cauchyssois
C'est donc une notion qui économise toute référence au complété, quand ce n'est pas utile.
David
Mais elle est trop élémentaire pour que personne n'y ait pensé avant moi.
Je voudrais donc savoir comment elle s'appelle.
Car elle a sûrement un nom, plus joli que celui de «filtres co-cauchyssois».
Voici ce dont il s'agit:
Soit $E$ espace métrique.
Je rappelle qu'un filtre $\mathcal F$ sur $E$ possède la propriété de Cauchy - je suppose qu'on peut dire plus simplement «est un filtre de Cauchy» - ssi:
$\forall \epsilon > 0, \exists A \in \mathcal F, diam(A) \le \epsilon$
Supposons maintenant qu'on ait deux filtres de Cauchy $\mathcal F$ et $\mathcal G$ sur $E$.
On vérifie facilement que l'intersection de deux filtres (et même d'une collection quelconque de filtres) sur un ensemble donné est un filtre sur cet ensemble.
Mais le filtre intersection $\mathcal H = \mathcal F \cap \mathcal G$ de nos deux filtres de Cauchy n'est pas nécessairement un filtre de Cauchy. Quand il l'est, je dis que $\mathcal F$ et $\mathcal G$ sont co-cauchyssois, ou encore filtres de Cauchy concordants. Cela signifie que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $A$ commun aux deux filtres et dont le diamètre est $\le \epsilon$.
Ma question est donc: y a-t-il un terme officiel pour cette notion?
Intérêt de ces filtres co-cauchyssois:
Dans un espace métrique complet, un filtre de Cauchy est un filtre convergent. Dans un espace métrique non nécessairement complet, on peut dire que le filtre de Cauchy converge dans le complété de l'espace; plus exactement, que son image par l'injection canonique converge.
converge dans le complété $\leftrightarrow$ est de Cauchy
Maintenant, dans par exemple le théorème de la double limite, on a une conclusion du genre: «ces trois fonctions, définies sur $E$, convergent, dans le complété de $E$, vers le même point». Je n'aime pas ce passage obligatoire par le complété de $E$, alors qu'on sent bien qu'on est en train de décrire une propriété, en réalité, intrinsèque à ces fonctions en tant que fonctions dans $E$. Après avoir tâtonné, je suis tombé sur le fait que «convergent vers un même point dans le complété» peut s'énoncer simplement en termes de filtres sur $E$, sans aucune référence au complété: il s'agit du fait que les filtres correspondants à chacune des trois fonctions sont de Cauchy (ce qui correspond à la convergence dans le complété), et qu'ils sont «co-cauchyssois» (ce qui correspond à la convergence vers un même point dans le complété).
convergent dans le complété vers un même point $\leftrightarrow$ sont co-cauchyssois
C'est donc une notion qui économise toute référence au complété, quand ce n'est pas utile.
David
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Réponses
1) un ultrafiltre est un filtre maximal, mais c'est surtout un filtre qui "répond à toutes les questions, ie, $\forall X\subseteq E: (X\in F$ ou $E\setminus X\in F)$
2) donner une limite à tout ultrafiltre de Cauchy (quand on dispose d'une structure uniforme) est une bonne façon de compléter
3) Canoniquement, un filtre $F$ est une intersection d'ultrafiltres (ceux qui le contiennent), ie mieux vaut pour ces sujets regarder l'ensemble $T_F$ des ultrafiltres $U$ vérifiant $U\supseteq F$, mais comme je te le disais c'est une question de gout.
4) Intuitivement, les ultrafiltres sont des points virtuels alors que les filtres sont des ensembles de points virtuels. Or c'est peu dommage de prolonger un espace topologique en appelant "futurs points" des ensembles de points virtuels, autrement dit des gros patés
5) Si tu regardes la relation entre ultrafiltres $U==V$ ssi il existe des "boulesabstraites" (on parle d'entourages généraux pas d'espace métriques) de "diamètres" arbitrairement petits dans $U\cap V$, l'inégalité triangulaire te donne que c'est une relation d'équivalence. Bien entendu tu peux faire pareil avec les filtres, mais ça devient une usine à gaz car tu vas dire que certains "patés" sont $==$-équivalents à des "points", etc, bref, ce sera crade.
6) En te restreignant aux ultrafiltres, tu parles bien de points (même s'ils sont virtuels) et $==$ représente le fait pour deux points d'être infiniment proches. Ca te permettra ensuite de quotienter si tu en as envie (mais en conscience) tout en gardant des intuitions propres. Tes futurs "patés" de diamètres nuls seront "en conscience" traités comme des "gros" points insécables selon le contexte que tu voudras privilégier.
j'espère que vous allez bien. J'apprécie beaucoup le fait que vous donnez beaucoup de détails, même si parfois je ne vous suis pas.
Cordialement
Ceci dit, ton point 2) ci-dessus, tel qu'il est exprimé, suggère fortement qu'on peut prendre pour complété d'un espace métrique l'ensemble de ses ultrafiltres de Cauchy, en les identifiant à leur limite. Mais pour ça, il faudrait que deux ultrafiltres de Cauchy qui sont «co-cauchyssois» soient nécessairement identiques. Je me suis demandé si c'était vrai, et il m'est apparu que non. Si on a un espace métrique $E$, un point $a \in E$ et deux parties disjointes $A$ et $B$ de $E$ telles que $a$ soit adhérent aux deux, alors en ajoutant au filtre des voisinages de $a$ soit $\{A\}$ soit $\{B\}$ on obtient deux bases de filtres dont chacune converge vers $a$, mais dont les ultrafiltres correspondants, tous convergents vers $a$ donc co-cauchyssois, sont nécessairement différents.
Dans ton point 6), tu sembles dire oui d'accord, mais bon les points en question sont «infiniment proches», et qu'il faut passer au quotient pour avoir le complété. Je veux bien croire que là-dedans il y a plein de choses intéressantes, mais ça ne me semble tout de même pas la manière la plus simple et directe pour compléter un espace métrique!
David