Réunion de fermés dans un espace métrique.

Soit $(E,d)$ un espace métrique et soit $(F_i)$ une famille de fermés de $(E,d)$ vérifiant :
$d(F_i,F_j)>0$ pour $i\neq j$. Ici $d(F_i,F_j)$ désigne la distance entre $F_i$ et $F_j$.

Je voudrais montrer que la réunion $\bigcup F_i$ est aussi un fermé de $(E,d)$.
Merci pour toute aide.


[Extrait d'un message d'Egoroff. AD]
Petites remarques LaTeX d'abord :
- il faut cocher la case sise à côté du bouton "Aperçu",
- ne pas hésiter à user de cette fonctionnalité "Aperçu" d'ailleurs,
- encadrer toutes les expressions mathématiques par des dollars,
- et encadrer toute l'expression, et pas seulement certains symboles, ou un des membres d'une égalité, etc.