Espace non séparable

Sarah Roro
Sarah Roro
dans Topologie
Bonjour,

Je bloque sur un exercice dont l'énoncé est le suivant :

Soit $(X,d)$ un espace métrique. On suppose qu'il existe $\varepsilon > 0$, un ensemble infini $I$ non dénombrable et $(x_i)_{i \in I}$ dans $X$ tels que $d(x_i,x_j) \geq \varepsilon,\ \forall i,j \in I,\ i \neq j$.
Montrer que $(X,d)$ n'est pas séparable.

J'ai pensé à écrire que si $(X,d)$ était séparable, alors il existerait un ensemble dénombrable $J$ dense dans $I$ tel que pour toute boule autour d'un élément de $(x_i)_{i \in I}$, on puisse trouver un élément de $(x_j)_{j \in J}$, ce qui est impossible en vertu de la définition de $d$ et si on prend une boule de rayon strictement inférieur à $\varepsilon$.
Ça me paraît bancal.
Quelqu'un aurait-il une piste ?
Merci par avance,
Sarah

[Ne pas confondre § et \$, le compilateur LaTeX n’apprécie pas :) AD]

Réponses

  • h
    h
    Pas compris : que signifie $J$ dense dans $I$ ?

    Une bonne piste consiste par contre à supposer la séparabilité et à essayer d'en déduire une contradiction.
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    Ah ben oui, un ensemble ne peut être dense dans un autre s'il n'y a pas de topologie définie sur les deux.

    Je voulais trouver une contradiction en considérant des boules autour de chaque $x_i$ et en utilisant le fait que $d(x_i,x_j) \geq \varepsilon$, mais je sais pas vraiment par où commencer.
  • remarque
    remarque
    Prends les boules ouvertes de rayon $\varepsilon/2$ centrées en les $x_i$, et regarde ce que ça donne quand tu supposes l'existence d'une partie dénombrable dense.
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    Ça voudrait dire que pour chaque $x_i$, il y aurait un élément de cette partie dense qui appartiendrait à la boule de rayon $\varepsilon/2$ et centrée en $x_i$. Or, par définition des $x_i$, cette partie devrait être non dénombrable, ce qui contredit l'hypothèse de départ (partie dénombrable).

    Est-ce correct ?
  • remarque
    remarque
    Oui c'est l'idée, sauf que tu devrais peut-être formaliser un peu plus cette histoire de non dénombrable vs. dénombrable.
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    C'est justement ça qui me pose problème ! Et je me rends bien compte que je ne suis pas rigoureuse dans ce que je raconte, puisque c'est l'idée que j'ai depuis le début et plus j'essaie de formaliser, plus je m'embrouille !
  • remarque
    remarque
    Je te conseille déjà d'appeler autrement les éléments de l'ensemble dénombrable dense, disons $(y_k)_{k\in\N}$. Ensuite essaie de définir une injection de $I$ dans $\N$ à partir des boules en question.
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    Merci pour ton aide ! Je regarderai ça un peu plus tard à tête reposée.
  • ccnc
    ccnc
    puisque c'est l'idée que j'ai depuis le début et plus j'essaie de formaliser, plus je m'embrouille !

    Face à une difficulté pour formaliser le meilleur conseiller est la sincérité. Tu semble en effet sentir ce qui se passe, mais ne pas pouvoir le mettre en mots.

    Par flemme, ton epsilon, je l'appelle $e$.

    Tu as l'impression que les hypothèses vont te permettre de rendre $I$ dénombrable, mais tu ne sais pas trop comment le manifester.

    1) Exagérer un truc donné en hypothèse est toujours utile. Il existe un ensemble dénombrable $D$ de points tels que $\forall x\in X \exists u\in D: e/ 1000 > d(x,u)$. Cet ensemble $D$ n'est autre qu'un des ensembles dénombrables et denses supposés exister: il rencontre n'importe quelle $boule(centre:=x; rayon:=e/1000)$.

    2) Le fait de diviser par 1000 est purement psychologique (disons que tu cherches de la marge)

    3) Soit $f$ une application de $I$ dans $D$ telle que $\forall i\in I: [e/1000>d(f(i), x_i)$ et $f(i)\in D]$. N'aurais-tu pas l'impression que $f$ est une injection de $I$ dans $D$.

    4) L'existence de $f$ est un cas particulier de l'axiome du choix. Peut-on s'en passer?
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    Bonjour,

    J'ai beau prendre en compte tous vos conseils, et je vous remercie pour cela, mais je n'y arrive pas :-(

    Sarah
  • remarque
    remarque
    On va changer les notations. C'est psychologique aussi. Plutôt que de noter $i$ et $I$ qui évoquent des entiers, notons $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ la famille telle que $d(x_\lambda,x_\mu)\ge\varepsilon$ dès que $\lambda\neq\mu$, et $(y_k)_{k\in\N}$ la partie dénombrable dense. Pour tout $\lambda\in\Lambda$, la boule ouverte $B(x_\lambda,\varepsilon/2)$ est un ouvert non vide. Elle rencontre donc toute partie dense, en particulier celle qui nous intéresse. L'ensemble des entiers $k$ tels que $y_k\in B(x_\lambda,\varepsilon/2)$ n'est donc pas vide. (Jusqu'ici, je n'ai fait que retranscrire ce que tu as dit avec des mots plus haut). On prend un entier dedans et on l'appelle $k(\lambda)$. Ca te fait une application $\lambda \mapsto k(\lambda)$ (passons sur le fait que c'est bien une application...) de $\Lambda$ à valeurs dans $\N$. Saurais-tu montrer que cette application est injective ?

    Edit : rajouté un « non vide » qui manquait plus haut.
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    Quelle joie de trouver ce message en rentrant du travail ! En effet, changer les notations m'a complètement débloquée. Je m'en étais arrêtée à "mais enfin, pourquoi cette boule ouverte n'est pas vide ???", ce qui devient évident en nommant $y_{k}$ un élément d'une boule ouverte centrée en $x_{\lambda}$.

    Pour montrer que $k$ est injective :

    Soient $\lambda_1$ et $\lambda_2$ dans $\Lambda$ tels que $y_{k(\lambda_1)} \in B(x_{\lambda_1}, \varepsilon / 1000)$, $y_{k(\lambda_2)} \in B(x_{\lambda_2}, \varepsilon / 1000)$ et $k(\lambda_1) = k(\lambda_2)$ (je prends en compte la remarque de ccnc au passage parce que deux effets psychologiques c'est mieux qu'un seul ;) ).
    Il suit que $y_{k(\lambda_1)} \in B(x_{\lambda_2}, \varepsilon / 1000)$ et $y_{k(\lambda_2)} \in B(x_{\lambda_1}, \varepsilon / 1000)$.
    On suppose que $\lambda_1 \not= \lambda_2$. Alors $B(x_{\lambda_1}, \varepsilon / 1000) \cap B(x_{\lambda_2}, \varepsilon / 1000) \not= \emptyset$ et $B(x_{\lambda_1}, \varepsilon / 1000) \not= B(x_{\lambda_2}, \varepsilon / 1000)$. Par suite, $d(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2}) \leq d(x_{\lambda_1},y_{k(\lambda_1)}) + d(y_{k(\lambda_1)},x_{\lambda_2}) < 2 \varepsilon/1000 < \varepsilon$, ce qui est absurde par définition/construction des $B(x_{\lambda}, \varepsilon / 1000)$ (on aurait la même chose en prenant $y_{k(\lambda_2)}$).
    Donc $\lambda_1 = \lambda_2$ et $k$ est injective.

    La conclusion de l'exercice vient toute seule après ça.
    J'espère que cette fois-ci c'est bon et que j'en ai enfin fini avec cet exercice !!
  • remarque
    remarque
    Ca m'a l'air bien, un peu redondant peut-être comme rédaction. Maintenant, si tu veux vraiment faire les choses à fond, il faudrait justifier que l'on a bien construit une application de $\Lambda$ dans $\N$. Mais je te rassure, en temps normal, on se contentera très bien de ce qui est écrit plus haut.
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    Je préfère me répéter pour l'instant, parce que plus j'avance en topologie et plus je me rends compte que ce qui paraît trivial ne l'est pas dans certains espaces. Tout comme ce qui paraît aller de soi en géométrie euclidienne se trouve remis en question dans certains espaces courbes. J'imagine que dans quelques années j'arriverai plus facilement à savoir ce qui est superflu dans certaines preuves... enfin... je l'espère !!

    Merci beaucoup en tout cas d'avoir passé du temps à me répondre dans les détails et de manière si pédagogique !

    Sarah
  • christophe c
    christophe c
    (tu)


    Bravo à toi remarque pour ta fine et subtile psychologie. J'hésite encore à conclure que tu as remarqué que l'axiome du choix (inconsciemment) était un obstacle ou plutôt certaines notations :)-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    CC se gausse, lui qui est si réputé pour sa clarté, mais je n'avais vu un universitaire faire un tel effort en matière de pédagogie: j'en suis resté étonné au sens fort du XVII ème siècle. C'est dire.
    Bravo remarque ! Les palmes académiques ! Fêtons-les tout de suite: :)-D

    Bien cordialement.
  • christophe c
    christophe c
    @CdP, j etais tres sincere*** dans mes felicitations a remarque, bon je ne connais pas tres bien le mot "gausser" mais je me demande s il n a pas une touche pejorative?

    ***la reaction de sarah etant claire elle a ete debloquee. Par contre comme je disais je n ai pas compris ce qui l a reellement debloquee d ou mon admiration pour l aspect psychologique de l intuition de remarque
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gnou
    gnou
    Mardi 15 janvier 2012, 1° dehors
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    Ce qui m'a "débloquée", c'est qu'en gardant la notation $x_{\lambda}$, je gardais aussi la distance donnée dans l'énoncé, et alors je n'obtenais que des boules vides. Je n'arrivais pas à construire un ensemble dénombrable dense dans $I$ pour démontrer la contraposée de ce qui était proposé dans l'exercice. Après une bonne nuit, je trouve maintenant la solution évidente, mais je n'aurais pas pu avancer sans ce changement de notation proposé par remarque. Parfois il suffit de pas grand-chose !
  • remarque
    remarque
    @CdP : je n'ai pas vu de gaussienne dans les propos de CC ! :D

    @CC : la spychologie, ça sessplique pas... je trouvais juste les notations initiales propres à la confusion.

    @Sarah Roro : quand tu parles de boules ouvertes vides, il faut faire un peu attention. Ca dépend des conventions, certaines personnes considèrent qu'une boule ouverte doit avoir un rayon strictement positif pour mériter ce nom. Dans ce cas, elle est automatiquement non vide, car elle contient au moins son centre. C'était bien le cas ici avec $\varepsilon/2>0$. J'ai rajouté « non vide » en édit, car je ne vois pas de raison particulière de faire de l'ostracisme vis-à-vis des boules ouvertes de rayon nul, qui sont elles vides. :D Le point important ici était que l'intersection de deux des boules considérées distinctes est vide, à cause de l'inégalité triangulaire.
  • Sarah Roro
    Sarah Roro
    Ah oui, je voulais dire des boules non réduites à un singleton (le centre de la boule). Mais bon, faut pas trop m'en demander avant mon onzième café, hein :D
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonjour,

    @ CC: se gausser = se moquer ouvertement. Pas de nuance péjorative, tu me connais, je ne me serais pas permis ... :D

    Bien cordialement.
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