Topologie non métrisable

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dans Topologie
$X$ un ensemble,
$T\subset\mathcal{P}(X)$ est une topologie sur $X$ si :
- $\varnothing$ et $X$ sont dans $T$
- $T$ est stable par réunion quelconque
- $T$ est stable par intersection quelconque [finie]

Je voudrais un exemple d'ensemble $X$ et de topologie $T$ tels qu'il n'existe pas de distance sur $X$ pour laquelle la topologie induite par cette distance coïncide avec $T$.

J'ai cherché à en construire sur $\mathbb{R}$ mais je n'y arrive pas, et en dimension infinie je ne vois pas comment démarrer.
:S

[Corrigé coquille de copier/coller. ;) AD]
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Réponses

  • h
    h
    Un exemple classique est la topologie produit sur $\R^{\R}$. Considérer alors l'ensemble $A$ des fonctions nulles sauf en un nombre fini de points. Noter qu'il est dense.
  • Loops0
    Loops0
    merci j'essaie ça
  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    H a donné l'exemple "de luxe" une topologie séparée non métrisable.

    Mais, plus modestement, une topologie non séparée (par exemple la grossière) n'est certainement pas métrisable!
  • remarque
    remarque
    Sur $\R$, les topologies gauche et droite ne sont pas métrisables. En dimension infinie, la topologie faible sur un Banach n'est pas métrisable (par exemple). Elles sont séparées, bien sûr.
  • Seirios
    Seirios
    N'importe quel espace de la forme $[0,1]^J$ pour la topologie produit, avec $|J| > \aleph_0$, n'est pas métrisable.
  • Loops0
    Loops0
    Ainsi Monsieur H a des goûts de luxe ...

    C'est sûr que s'il existe un exemple en dimension finie, et même sur R ça m'arrange ^_^
    (j'essaierai après pour la dim infinie).

    La topologie grossière sur R ne serait pas métrisable ...?
    En supposant qu'il existe une distance qui métrise cette topologie je ne vois pas à quelle contradiction je dois arriver, peut être en montrant qu'une soite converge et diverge à la fois ?

    Merci Remarque
    La topologie gauche et droite, je ne sais même pas ce que c'est ^_^
    Et la topologie faible je me rappelle de ce que c'est mais je ne maîtrise (métrise ? ^_^) pas assez.
  • remarque
    remarque
    Une topologie métrique étant séparée, toute topologie non séparée n'est pas métrisable. Donc la topologie grossière...

    La topologie gauche sur $\R$ est celle engendrée par les $[a,b[$. (A moins que ce ne soit la droite ? Il ne faut pas trop parler de politique, si on ne veut pas que le fil ferme... :D).
  • Wopwopwop
    Wopwopwop
    Remarque, moi, c'est la topologie des $\left\{ ]-\infty; a[ \mbox{ } | \mbox{ } a \in \mathbb{R}\right\}$ que j'appelais topologie gauche...
  • remarque
    remarque
    Je préfère la mienne. Ta topologie a vraiment trop peu d'ouverts pour être très fun et mériter le nom. :D
  • Wopwopwop
    Wopwopwop
    La mienne est cher fun, puisqu'elle permet de caractériser les fonctions croissantes par leur continuité pour cette topologie !
    Et puis c'est la topologie pour lesquelles les fonctions semi-continues supérieurement sont continues...
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    @ wopwopwop: ta topologie n'est pas séparée Hausdorff ... Pour la terminologie, c'est remarque qui a raison. Je ne sais plus comment se nomme "la tienne".

    Bien cordialement.
  • remarque
    remarque
    D'autant plus que la bonne topologie à gauche est telle que ses fonctions continues (à valeurs dans $\R$ usuel) sont les fonctions continues à gauche.
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonjour,

    Aux dernières nouvelles, la topologie de remarque est la topologie de Sorgenfrey. La topologie à droite et celle à gauche. C'est la topologie des fonctions semi-continues (inf, sup) en guise de fonctions continues.
    Stricto sensu, la topologie de S. est le produit de deux telles topologies, mais la terminologie est correcte, en gros.
    La topologie de Wopwop s'appelle la topologie des demi-droites. La droite et la gauche, aussi. C'est la topologie des fonctions croissantes (décroissantes) en guise de fonctions continues.
    De bons exos pour les apprenants(sic). :)

    Bien cordialement.
  • remarque
    remarque
    Pas vraiment. D'abord, après vérification sur une source indiscutable (wikipedia), la topologie que j'ai décrite est la topologie droite et non pas gauche (mais il y avait 55\% de chances que je l'ai mise à l'envers). Si $\R_d$ désigne $\R$ munie de cette topologie et $\R$ désigne $\R$ munie de la topologie de $\R$, alors une application de $\R_d$ dans $\R$ est continue si et seulement si elle est continue à droite. Par contre, je crains bien qu'une application de $\R$ dans $\R_d$ ne puisse être continue que si elle est constante.

    En fait, je ne me suis jamais posé la question, mais y a-t-il vraiment une topologie sur $\R$ pour laquelle les fonctions continues à valeurs dans $\R$ ordinaire soient les fonctions sci ou scs ?
  • remarque
    remarque
    Ah bah je dois être engourdi par le froid. Si $\R_{www}$ désigne $\R$ muni de la topologie de Wopwopwop, les applications continues de $\R$ dans $\R_{www}$ sont les scs. Par contre, de $\R_{www}$ dans $\R$, il n'y a que les constantes.
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    Oui, je me suis un peu mélangé les pinceaux ... Voir A. et G. Revuz Le cours de l'APM III Topologie Ex0 16 p. 34, corrigé p. 168.

    f: lRwopwopwop droite --> lRwd continue <==> f croissante + continue à gauche (usuelle)
    lRwg --> lRwg .................................... " ..... + continue à droite
    lRwd ---> lRwg ....................... f décroissante + cont. à droite
    lRwg --> lRwd ....................... ........... " ................ + cont. à droite
    lRwd [ou lRwg] --- > lRusuel .............. f constante
    lRusuel ---> lRwd .............................. f s.c.i.
    lRusuel ---> lRwg ......................... .... f s.c.s.

    Bien cordialement.

    PS. Finalement, elle n'est pas si mal que ça la topologie de wopwopgwop ...
  • christophe c
    christophe c
    Bon, j'ai très peu de temps. J'appelle $usuel$ la topologie usuelle et $www$ la topologie de wopwopwop ci-dessus

    Soit $f\in (\R \to \R)$. Soit $a\in R$ et $x$ superproche(usuel) de $a$. Si $f$ est continue de $(\R, usuel)$ dans $(\R, www)$ alors tout intervalle de la forme $]-\infty; b[$ qui contient $f(a)$ et qui est std devra contenir $f(x)$. Ca empèche donc bien $f$ de monter "d'un coup sec" autour de $a$. Et la réciproque est vraie aussi.


    Voyons l'autre sens, $(\R, www)$ dans $(\R, usuel)$: tout $x\leq a$ sera superproche(www) de $a$ et devra donc avoir une image superproche(usuel) de $f(a)$. Cela vaut en particulier pour tous les standards $\leq a$, ce qui entraine que $f(b)=f(a)$ dès que $b\leq a$ et donc $f$ est constante.

    Donc sauf erreur, l'affirmation de remarque ci-dessus est conforme à la conclusion du présent post, qui est une traduction non standard
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • remarque
    remarque
    Ce n'est pas fondamentalement plus long en standard.:)o
  • Loops0
    Loops0
    Merci de ne pas embrouiller les débutants ... :D
    Vous me filez des maux de tête là !

    Bon alors toute topo métrique est séparée et donc une topo grossière qui n'est pas séparée n'est pas métrisable OK ça j'ai réussi (heureusement :o)

    Par contre avec vos exemples de topo séparées non métrisables je n'y arrive pas.
    J'ai essayé avec $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ mais je ne vois pas du tout comment faire.
  • Magnolia
    Magnolia
    Pour en revenir à l'exemple de H. Commence par montrer que dans un espace métrique un élément est dans l'adhérence d'une partie $A$ si et seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de $A$. En prenant la partie $A$ suggérée par H, montre que la fonction constante de valeur 1 est dans l'adhérence mais ne peut pas être limite d'une suite d'éléments de $A$. (C'est à nouveau plus modeste que ce qu'il disait).

    Ad-tu vu qu'une suite de fonction converge pour cette topologie si et seulement si elle converge simplement?
  • TestoTest
    TestoTest
    "Commence par montrer que dans un espace métrique un élément est dans l'adhérence d'une partie $A$ si et seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de $A$"

    Oui oui ça je sais faire. :o

    Si $x\in \bar{A}$, alors pour tout $r>0$, $B(x,r)\cap A \ne \varnothing$ ce qui peut s'écrire : pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe $x_n$ dans $A$ et tel que $|x-x_n|<\frac{1}{n}$
    Donc $x$ est limite d'une suite d'éléments de $A$.

    Si $x\notin \bar{A}$, alors il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\cap A = \varnothing$, or toute suite $(x_n)_n$ d'élements de $A$ convergent vers $x$ vérifierait à partir d'un certain rang : $x_n\in B(x,r)$ or ce n'est pas possible pour des éléments de A, il est donc exclus de trouver une telle suite.

    Bon mais je n'arrive pas la suite.
    Je ne vois pas comment montrer que la fonctions constante égale à 1 est dans l'adhérence de l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ nulles sauf en un nombre fini de points sans caractérisation par les suites ?

    Oui j'ai déjà vu ça mais bon je maîtrise pas trop les topologies faibles (ça fait longtemps que je fais plus de maths).
  • remarque
    remarque
    La définition de l'adhérence en général n'utilise pas de suites. Pourquoi ne prends-tu pas simplement cette définition ? Ca n'a rien de compliqué.
  • Loops0
    Loops0
    Je me rends compte que je peux décrire l'adhérence d'une partie dans un espace métrique mais pas dans un espace topologique (hormis dire que c'est le plus petit entier contenant la partie).
    Donc je ne risque pas d'y arriver :/

    Je vois aussi que décrire la topologie produit dans un espace de dimension infinie comme celui proposé me pose problème :/

    Bon merci à vous tous, c'est gentil d'avoir essayé de m'aider.

    Bye
  • shlabagoo
    shlabagoo
    x est dans Adh(A) si et seulement si tout ouvert contenant x intersecte A.
  • bou86000
    bou86000
    Salut.
    Je fixe $a=0$ (ou toute autre valeur) et je considère la topologie suivante : $$T=\{X\subset \mathbb{R}\ :\ a\in X\}\ \cup\ \{\emptyset\}$$ Convient-elle ou pas ?
    :S
    Crdt
  • remarque
    remarque
    Oui, puisqu'elle n'est pas séparée.
  • David Olivier
    David Olivier
    La topologie grossière peut parfaitement être métrisable.

    David
  • Magnolia
    Magnolia
    > David Non, s'il y a au moins deux éléments la topologie grossière n'étant pas séparée n'est pas métrisable!
  • David Olivier
    David Olivier
    Personne n'avait posé la condition "s'il y a au moins deux éléments". Si tu ajoutes des conditions après coup à ton assertion, évidemment que tu peux le rendre vrai.

    David
  • Magnolia
    Magnolia
    Un singleton étant évidemment métrisable et le topic parlant de non-métrisables...

    je t'ai connu moins pointilleux dans d'autres fils! ;)
  • David Olivier
    David Olivier
    Ben je crois qu'on n'a pas la même conception de ce que c'est que d'être pointilleux.

    David
  • David Olivier
    David Olivier
    J'ajoute qu'il n'y a pas que les singletons sur lesquels la topologie grossière est métrisable.

    David
  • Zo!
    Zo!
    Là, c'est l'ajout qui tue (son auteur). (:D
  • christophe c
    christophe c
    :)-D Il voulait peut-être parler de l'ensemble vide
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Zo!
    Zo!
    C'est possible.:)-D
  • Sirius3
    Sirius3
    Quelle ambiance sur ce forum ... Certains feraient mieux de revoir le ton de leurs interventions, c'est quand même dommage que le forum se transforme de plus en plus en une foire d'empoigne.

    Visiblement, le passe-temps favori de certains consistent à guetter les nouveaux messages de leur tête de turc favorite afin d'y déceler une éventuelle faille et le faire remarquer immédiatement*. Le plus drôle est leur réaction lorsqu'on leur signale que leur remarque n'a aucun intérêt, et n'a nullement contribué à la discussion en cours.

    * enfin, ici, immédiatement signifie deux semaines plus tard, c'est pour vous dire que la remarque devait être sacrément importante !
  • David Olivier
    David Olivier
    Soit $E = \emptyset$ et $d: E^2 \to \R$ tel que $\forall (x,y) \in E^2, d(x,y) = -7$. On vérifie que $d$ est une distance sur $E$, et que la topologie $\tau$ associée à l'espace métrique $(E,d)$ est l'ensemble $\{\emptyset,E\}$, c'est-à-dire la topologie grossière sur $E$.

    David
  • h
    h
    David : personne ne met en doute ce que tu écrit. C'est même précisément parce que ce que tu écris est trivial et très probablement évident pour tous les intervenants de ce fil que tu as eu le droit à des remarques un peu acides :).

    Sur un forum, on se trompe parfois sur le ton d'une remarque faite par un autre intervenant. Cela peut engendrer des malentendus et explique peut-être les derniers échanges.
  • christophe c
    christophe c
    @Sirius, pourrais-tu préciser à qui s'adressait ta réaction?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Sirius3
    Sirius3
    A celui qui fait remonter une discussion vieille de deux semaines en pensant nous apprendre que les singletons et même l'ensemble vide sont métrisables (j'en suis tout retourné), juste car il pensait ainsi ridiculiser remarque.
  • Magnolia
    Magnolia
    C'est bien parce que j'avais subodoré ce que dit Sirius que je me suis précipitée pour répondre, espérant calmer le jeu... et j'ai appris que je n'ai pas le même "pointillisme" que David Olivier!
  • remarque
    remarque
    Ah mais non, je n'aurais jamais oser parlé de l'ensemble vide, sachant que Ga? Bu Zo! Meu veille ! :D
  • remarque
    remarque
    Malgré la terrible faute d'orthographe du message ci-dessus, je n'ai pas accès à la modification de mon message (Chrome, Safari, Firefox). :-( Un complot de plus ? :D

    Par contre, celui-là, je peux le modifier... gaspe.
  • JLT
    JLT
    Remarque a oser...
  • remarque
    remarque
    Bah oui, c'est la honte. Tu penses bien que si je pouvais le modifié, je l'aurais fait...
  • remarque
    remarque
    Tiens, c'est marrant, la possibilité de modifié ces derniers messages vient aussi de disparaître. Je le prouve :
    27125
  • remarque
    remarque
    Et là, miracle !

    Ca sent le bug, non ?27126
  • JLT
    JLT
    Ah mais c'est vrai, c'est insupportable, moi qui ai toujours besoin de corrigé mes fautes d'orthographe.

    Ah si ça marche à nouveau.
  • h
    h
    Il suffit pourtant de cliquer sur "modifié le message".

    Bon, j'arrive un peu tard.
  • remarque
    remarque
    Oui, ça marche quelque temps, et après c'est terminé ! :-( J'ai signalé le truc aux modérateurs.

    @ H : s'il te plaît, laisse cette conversation aux enregistrés. Sinon, je resquatte ton pseudo avec plin de faute qui te metront la honte oci.
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