Topologie non métrisable
$X$ un ensemble,
$T\subset\mathcal{P}(X)$ est une topologie sur $X$ si :
- $\varnothing$ et $X$ sont dans $T$
- $T$ est stable par réunion quelconque
- $T$ est stable par intersection quelconque [finie]
Je voudrais un exemple d'ensemble $X$ et de topologie $T$ tels qu'il n'existe pas de distance sur $X$ pour laquelle la topologie induite par cette distance coïncide avec $T$.
J'ai cherché à en construire sur $\mathbb{R}$ mais je n'y arrive pas, et en dimension infinie je ne vois pas comment démarrer.
:S
[Corrigé coquille de copier/coller. AD]
$T\subset\mathcal{P}(X)$ est une topologie sur $X$ si :
- $\varnothing$ et $X$ sont dans $T$
- $T$ est stable par réunion quelconque
- $T$ est stable par intersection quelconque [finie]
Je voudrais un exemple d'ensemble $X$ et de topologie $T$ tels qu'il n'existe pas de distance sur $X$ pour laquelle la topologie induite par cette distance coïncide avec $T$.
J'ai cherché à en construire sur $\mathbb{R}$ mais je n'y arrive pas, et en dimension infinie je ne vois pas comment démarrer.
:S
[Corrigé coquille de copier/coller. AD]
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Réponses
H a donné l'exemple "de luxe" une topologie séparée non métrisable.
Mais, plus modestement, une topologie non séparée (par exemple la grossière) n'est certainement pas métrisable!
C'est sûr que s'il existe un exemple en dimension finie, et même sur R ça m'arrange ^_^
(j'essaierai après pour la dim infinie).
La topologie grossière sur R ne serait pas métrisable ...?
En supposant qu'il existe une distance qui métrise cette topologie je ne vois pas à quelle contradiction je dois arriver, peut être en montrant qu'une soite converge et diverge à la fois ?
Merci Remarque
La topologie gauche et droite, je ne sais même pas ce que c'est ^_^
Et la topologie faible je me rappelle de ce que c'est mais je ne maîtrise (métrise ? ^_^) pas assez.
La topologie gauche sur $\R$ est celle engendrée par les $[a,b[$. (A moins que ce ne soit la droite ? Il ne faut pas trop parler de politique, si on ne veut pas que le fil ferme... ).
Et puis c'est la topologie pour lesquelles les fonctions semi-continues supérieurement sont continues...
@ wopwopwop: ta topologie n'est pas séparée Hausdorff ... Pour la terminologie, c'est remarque qui a raison. Je ne sais plus comment se nomme "la tienne".
Bien cordialement.
Aux dernières nouvelles, la topologie de remarque est la topologie de Sorgenfrey. La topologie à droite et celle à gauche. C'est la topologie des fonctions semi-continues (inf, sup) en guise de fonctions continues.
Stricto sensu, la topologie de S. est le produit de deux telles topologies, mais la terminologie est correcte, en gros.
La topologie de Wopwop s'appelle la topologie des demi-droites. La droite et la gauche, aussi. C'est la topologie des fonctions croissantes (décroissantes) en guise de fonctions continues.
De bons exos pour les apprenants(sic).
Bien cordialement.
En fait, je ne me suis jamais posé la question, mais y a-t-il vraiment une topologie sur $\R$ pour laquelle les fonctions continues à valeurs dans $\R$ ordinaire soient les fonctions sci ou scs ?
Oui, je me suis un peu mélangé les pinceaux ... Voir A. et G. Revuz Le cours de l'APM III Topologie Ex0 16 p. 34, corrigé p. 168.
f: lRwopwopwop droite --> lRwd continue <==> f croissante + continue à gauche (usuelle)
lRwg --> lRwg .................................... " ..... + continue à droite
lRwd ---> lRwg ....................... f décroissante + cont. à droite
lRwg --> lRwd ....................... ........... " ................ + cont. à droite
lRwd [ou lRwg] --- > lRusuel .............. f constante
lRusuel ---> lRwd .............................. f s.c.i.
lRusuel ---> lRwg ......................... .... f s.c.s.
Bien cordialement.
PS. Finalement, elle n'est pas si mal que ça la topologie de wopwopgwop ...
Soit $f\in (\R \to \R)$. Soit $a\in R$ et $x$ superproche(usuel) de $a$. Si $f$ est continue de $(\R, usuel)$ dans $(\R, www)$ alors tout intervalle de la forme $]-\infty; b[$ qui contient $f(a)$ et qui est std devra contenir $f(x)$. Ca empèche donc bien $f$ de monter "d'un coup sec" autour de $a$. Et la réciproque est vraie aussi.
Voyons l'autre sens, $(\R, www)$ dans $(\R, usuel)$: tout $x\leq a$ sera superproche(www) de $a$ et devra donc avoir une image superproche(usuel) de $f(a)$. Cela vaut en particulier pour tous les standards $\leq a$, ce qui entraine que $f(b)=f(a)$ dès que $b\leq a$ et donc $f$ est constante.
Donc sauf erreur, l'affirmation de remarque ci-dessus est conforme à la conclusion du présent post, qui est une traduction non standard
Vous me filez des maux de tête là !
Bon alors toute topo métrique est séparée et donc une topo grossière qui n'est pas séparée n'est pas métrisable OK ça j'ai réussi (heureusement )
Par contre avec vos exemples de topo séparées non métrisables je n'y arrive pas.
J'ai essayé avec $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ mais je ne vois pas du tout comment faire.
Ad-tu vu qu'une suite de fonction converge pour cette topologie si et seulement si elle converge simplement?
Oui oui ça je sais faire.
Si $x\in \bar{A}$, alors pour tout $r>0$, $B(x,r)\cap A \ne \varnothing$ ce qui peut s'écrire : pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe $x_n$ dans $A$ et tel que $|x-x_n|<\frac{1}{n}$
Donc $x$ est limite d'une suite d'éléments de $A$.
Si $x\notin \bar{A}$, alors il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\cap A = \varnothing$, or toute suite $(x_n)_n$ d'élements de $A$ convergent vers $x$ vérifierait à partir d'un certain rang : $x_n\in B(x,r)$ or ce n'est pas possible pour des éléments de A, il est donc exclus de trouver une telle suite.
Bon mais je n'arrive pas la suite.
Je ne vois pas comment montrer que la fonctions constante égale à 1 est dans l'adhérence de l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ nulles sauf en un nombre fini de points sans caractérisation par les suites ?
Oui j'ai déjà vu ça mais bon je maîtrise pas trop les topologies faibles (ça fait longtemps que je fais plus de maths).
Donc je ne risque pas d'y arriver
Je vois aussi que décrire la topologie produit dans un espace de dimension infinie comme celui proposé me pose problème
Bon merci à vous tous, c'est gentil d'avoir essayé de m'aider.
Bye
Je fixe $a=0$ (ou toute autre valeur) et je considère la topologie suivante : $$T=\{X\subset \mathbb{R}\ a\in X\}\ \cup\ \{\emptyset\}$$ Convient-elle ou pas ?
:S
Crdt
David
David
je t'ai connu moins pointilleux dans d'autres fils!
David
David
Visiblement, le passe-temps favori de certains consistent à guetter les nouveaux messages de leur tête de turc favorite afin d'y déceler une éventuelle faille et le faire remarquer immédiatement*. Le plus drôle est leur réaction lorsqu'on leur signale que leur remarque n'a aucun intérêt, et n'a nullement contribué à la discussion en cours.
* enfin, ici, immédiatement signifie deux semaines plus tard, c'est pour vous dire que la remarque devait être sacrément importante !
David
Sur un forum, on se trompe parfois sur le ton d'une remarque faite par un autre intervenant. Cela peut engendrer des malentendus et explique peut-être les derniers échanges.
Par contre, celui-là, je peux le modifier... gaspe.
Ca sent le bug, non ?
Ah si ça marche à nouveau.
Bon, j'arrive un peu tard.
@ H : s'il te plaît, laisse cette conversation aux enregistrés. Sinon, je resquatte ton pseudo avec plin de faute qui te metront la honte oci.