Fermé borné non compact

ahmedf
ahmedf
dans Topologie
Bonjour
Je cherche un contre-exemple pour prouver qu'en général,
dans un espace métrique tout fermé borné n'est pas compact.

Réponses

  • egoroffski
    egoroffski
    Salut,

    Dans $\R$ muni de la distance discrète ($d(x,y)=1$ si $x \neq y$ et $0$ sinon), une boule fermée bien choisie fera l'affaire.
  • Magnolia
    Magnolia
    Rebonjour

    Cette fois c'est plus compliqué... On en trouve dans des espaces normés de dimension infinie...

    Par exemple, prends $\R[X]$ avec la norme $||a_nX^n+...+a_0||=sup(|a_0|,...,|a_n|)$.

    La boule fermée de rayon 1 est bien sur un fermé borné. Montre que ce n'est pas un compact en regardant la suite $(X_n)_{n\in\N}$.

    ... j'ai l'esprit compliqué! Salut egoroffski :)
  • ahmedf
    ahmedf
    merci
  • egoroffski
    egoroffski
    Salut Magnolia :)
  • mister_jones
    mister_jones
    Tu peux aussi regarder du côté du (d'un) théorème de Riesz, affirmant que dans un espace vectoriel normé, la boule unité fermée est compacte si et seulement si on est en dimension finie.
  • ahmedf
    ahmedf
    merci
  • AD
    AD
    Bonsoir
    Et pourquoi pas $\Q$ et la distance classique ?
    $[0;1]\cap\Q$ est borné, fermé (dans $\Q$) mais pas complet, donc pas compact ? Non ?
    Alain
  • egoroffski
    egoroffski
    Ben si (tu)(tu)(tu)
  • mathématiques_
    mathématiques_
    Joli AD
  • alban01
    alban01
    En tout cas, merci à egoroffski et à AD de me rappeler que le théorème "en dimension finie, les compacts sont les fermés bornés" devrait être plutôt mémorisé en "sur $\R^n$ ou $\C^n$ muni d'une norme, les compacts sont les fermés bornés". A force de ne faire que des espaces normés sur $\R$ ou $\C$, j'en avais oublié qu'on pouvait regarder des espaces métriques ou faire de la topologie sur $\Q$.
  • egoroffski
    egoroffski
    Euh, je me joins à tes remerciements, car c'est uniquement Alain qui y a pensé ! :)
  • alban01
    alban01
    Je pensais aussi à ta distance discrète sur $\R$, avec la boule fermée bornée $\R$, qui n'est pas compacte puisque par exemple la suite $(n)_{n \in \N}$ n'admet pas de sous-suite convergente si je ne dis pas de betise.
  • Siméon0
    Siméon0
    Exercice : soit $(S,d)$ un espace métrique. Montrer qu'il existe une distance sur $S$ qui induit la même topologie (donc les mêmes fermés, les mêmes compacts, etc) que $d$ et pour laquelle toutes les parties de $S$ sont bornées.


    Avec ça en tête, que penser de la notion de "borné" dans un espace métrique du point de vue topologique ?
  • elodouwen
    elodouwen
    On peut en penser que "borné" n'a rien de topologique (tout comme complet)
    Un exemple simple c'est que, niveau topologique, $]0,1[$ ou $\mathbb{R}$, c'est pareil non ?
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