Erreur du site ? Théorème de Baire

Philippe_M
Philippe_M
dans Topologie
Bonjour

Je pense qu'une petite erreur s'est glissée sur la page du site consacrée au Théorème de Baire http://www.les-mathematiques.net/c/a/b/node4.php#dimfin .

Sous la proposition "Un espace de Banach de dimension infinie n'a pas de base algébrique dénombrable.", il est écrit que l'union des Fn est sensé donner l'espace E tout entier; les Fn étant présentés comme des sous-espaces stricts de E.

Cela est notoirement inexact : un espace vectoriel E n'est jamais l'union dénombrable, finie ou infinie, de ses sous-espaces stricts (du moins sur le corps R).

De fait, dans la plupart des syllabus PDF de topologie que j'ai scruté jusqu'à présent, la démonstration de cette proposition est considérablement plus complexe que les 3 lignes de la page. (J'ai atterri ici justement en recherche d'une démo plus simple.)

BàV ,
Philippe

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Réponses

  • NoName
    NoName
    Bonjour,
    Ben si, si tu as une base dénombrable ton espace est reunion de sous espaces stricts en nombre dénombrable.
    Prend R[X], il est la réunion des R_n[X] (l'ensemble des polynomes de degré plus petit que n) pour n allant de 0 à l'infini (tout polynome à un degré).
    Ce serait faux pour finie bien sur.
    L'exemple de R[X] est typique (de toute façon tout espace a base dénombrable lui est isomorphe), les R_n[X] sont d'interieur vide, de reunion pleine, et donc R[X] ne peut pas etre de Baire, la proposition fonctionne pareil pour un espace a base denombrable quelconque. Il ne peut etre de Baire (donc complet).

    Note que le meme genre d'argument fonctionne aussi pour prouver que Q (ou un espace métrique denombrable dont les points ne sont pas ouverts) n'est pas complet, pour aucune norme.
  • christophe c
    christophe c
    Salut Philippe,

    j'ai cliqué et rien ne me choque dans les arguments évoqués. De plus, quand tu dis:
    il est écrit que l'union des Fn est sensé donner l'espace E tout entier; les Fn étant présentés comme des sous-espaces stricts de E.

    Cela est notoirement inexact : un espace vectoriel E n'est jamais l'union dénombrable, finie ou infinie, de ses sous-espaces stricts (du moins sur le corps R).

    Réalises-tu que non seulement tu ne nies pas l'argument, mais que ta déclaration prétend même le rendre inutile et le généraliser (même si l'assertion est fausse)?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Philippe_M
    Philippe_M
    @ NoName : c'est ta première phrase qui est controversée, c'est tout le problème :
    si tu as une base dénombrable ton espace est reunion de sous espaces stricts en nombre dénombrable.
    .
    Pourquoi pars-tu du principe qu'un EV peut s'écrire comme l'union dénombrable des ses sous-espaces stricts ? C'est justement le contraire qu'on demande généralement de démontrer aux tests :
    - on n'obtient pas les polynomes de degré 4 en faisant l'U dénombrable des polynomes de degré 0, 1, 2 et 3
    - on n'obtient pas l'espace euclidien$\mathbb {R}^3$ en faisant l'U dénombrable des points, des droites et des plans

    Pourquoi partir du principe qu'en dimension infinie cela pourrait être vrais et qu'on aurait $E=\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n$ (?)
    Ce n'est qu'ensuite qu'on invoque le théorème de Baire pour conclure que, puisque les Fn sont des fermés d'intérieur vide, leur union infinie de ne donne jamais qu'un fermé d'intérieur vide.
  • Siméon
    Siméon
    Soit $(e_n)_{n\in \Bbb N}$ une base de $E$. Une base étant génératrice, tout élément de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire d'un nombre fini d'éléments la base, donc il existe un $n_0$ tel que $x$ appartient à chacun $F_n = \mathrm{Vect}\, \{e_1,e_2,\dots,e_n\}$ pour $n \geq n_0$.

    Je pense que c'est le passage en gras que tu avais occulté.
  • NoName
    NoName
    Alors une précision, quand je dis dénombrable, je veux dire infini dénombrable (d'ailleurs je précise bien que pour fini, ça ne marche pas).
    Donc je reprécise, un espace vectoriel de dimension infinie dénombrable est toujours réunion denombrable de sous-espaces vectoriels strict.

    En voici une preuve (mais le cas de $\R[X]$ devrait déjà t’éclairer, tout polynôme $f$ est dans un $\R_n[X]$, donc $\R[X]$ est la réunion des $\R_n[X]$).
    Soit $(e_i)_{i\in\N}$ une base dénombrable de ton espace $E$, posons alors $F_i=\R.e_0\oplus\ldots\oplus \R.e_i$ l'espace (strict !) engendré par les $i+1$ premiers vecteurs de la base, $E$ est réunion pour $i \in \N$ des $F_i$. En effet soit $x \in E$, il s’écrit comme $x=a_1e_{i_1}+\ldots+a_ne_{i_n}$
    Soit $m$ le max des indices $i_k$, alors $x$ est dans $F_m$, et la preuve est complète.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ne serait-ce pas un dialogue de sourds ? Et un problème de français.
    Philippe_M a écrit:
    un espace vectoriel E n'est jamais l'union dénombrable, finie ou infinie, de ses sous-espaces stricts (du moins sur le corps R).
    D'accord, car dès qu'il y a au moins 2 éléments linéairement indépendants, il y a une infinité non dénombrable de sev stricts, donc la phrase n'a pas vraiment de sens; et en dimension 0 ou 1, c'est aussi faux.

    Par contre un ev réel peut très bien être la réunion dénombrable de sev stricts (pas tous, donc).
    NoName a écrit:
    Donc je reprécise, un espace vectoriel de dimension infinie dénombrable est toujours la réunion de certains de ses sous-espaces vectoriels strict.

    En voici une preuve (mais le cas de $ \mathbb{R}[X]$ devrait déjà t’éclairer, tout polynôme $ f$ est dans un $ \mathbb{R}_n[X]$, donc $ \mathbb{R}[X]$ est la réunion des $ \mathbb{R}_n[X]$).
    (J'ai légèrement modifié le texte pour éclaircir le propos : "ses" pour "certains de ses", pas pour "tous ses")

    Christophe a bien noté que Philippe_M reprend en fait le raisonnement de la preuve. Qui s'appuie bien sur l'idée qu'une propriété est fausse (preuve souvent dite "par l 'absurde").

    Cordialement
  • NoName
    NoName
    Oui il est possible que l'incompréhension vienne de là. (j'ai édité pour rendre plus compréhensible)
  • gerard0
    gerard0
    Philippe_M :

    En complément, et surtout parce que c'est une chose à bien comprendre :
    Pourquoi pars-tu du principe qu'un EV peut s'écrire comme l'union dénombrable des ses sous-espaces stricts ? C'est justement le contraire qu'on demande généralement de démontrer aux tests :
    - on n'obtient pas les polynômes de degré 4 en faisant l'U dénombrable des polynômes de degré 0, 1, 2 et 3
    - on n'obtient pas l'espace euclidien$ \mathbb {R}^3$ en faisant l'U dénombrable des points, des droites et des plans

    Pourquoi partir du principe qu'en dimension infinie cela pourrait être vrai

    Parce que justement avec l'infini, il se passe des choses différentes. Il suffit de bien vouloir y réfléchir, sans partir du principe que ce qui te surprend est faux.

    Cordialement.
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