Equivalence de distances

dfshr8
dfshr8
dans Topologie
Deux métriques $ d_1$ et $ d_2$ sont dites équivalentes si il existe $ \alpha $ et $ \beta $ tels que $ \alpha d_1 < d_2 < \beta d_1$ 1.2, avec $ \alpha ,\beta > 0$.
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Réponses

  • dfshr8
    dfshr8
    J'ai l'impression que dans le premier cas les constantes alpha et beta ne dépendent ni de x ni de y. Du coup en terme de boule ca ne dépend pas de l'origine de la boule et du rayon de cette boule.

    Tandis que dans le deuxième cas j'ai l'impression que ça nous donne simplment une sorte d' équivalence en terme d'ouvert (pour les deux distances)( les ouverts sont les mêmes pour les deux distances)

    Moi je suis habitué au premier casde figure car je travaille par exemple dans le plan avec la istance usuelle ou la distance de manhattan et comme dans un espace vectoriel les distances sont invariante par transation et homotétie, le second cas est équivalent au premier cas
  • Siméon
    Siméon
    Ta question est tout à fait fondée. La définition 1.1.5 définit une notion topologique, c'est à dire qui a seulement trait aux ouverts.

    Néanmoins, elle ne correspond pas à la notion usuelle d'équivalence topologique de deux distances : $d_1$ et $d_2$ sont dîtes topologiquement équivalentes si elles engendrent la même topologie sur $E$. Avec cette définition 1.1.5, les ouverts pour $d_1$ sont aussi des ouverts pour $d_2$ mais on n'a pas nécessairement la réciproque... Où as-tu trouvé cette définition ?

    Cette définition est équivalente à la suivante : $d_1$ et $d_2$ sont dites topologiquement équivalentes si elles engendrent la même topologie sur $E$. Avec cette définition 1.1.5, les ouverts pour $d_1$ sont aussi des ouverts pour $d_2$ et réciproquement.
  • dfshr8
    dfshr8
    Dns le poly d' Analyse réelle de Jean saint Raymond (M1 à l'UPMC), en revanche je ne comprend pas pourquoi il n'y aurait pas la réciproque, as tu un exemple ?
  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Sur $\R$ les deux distances $d(x,y)=|x-y|$ et $\delta(x,y)=|x^3-y^3|$ définissent la même topologie, mais ne sont pas équivalentes au sens que tu donnes, avec $a$ et $b$. On appelle parfois cette équivalence "uniformément équivalentes".
  • Siméon
    Siméon
    @dfshr : J'ignore pourquoi, mais j'avais lu : pour tout $x \in E$ et $r > 0$, il existe $r_1 > 0$ et $r_2 > 0$ tels que $B_1(x,r_1) \subset B_2(x,r_2) \subset B_1(x,r)$. Bref, un truc bizarre. J'ai corrigé mon message.
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