espace topologique co fini
dans Topologie
Bonjour tout le monde, j'ai un problème avec cet exercice qui me rend un peu dingue puisque je suis un peu nul en topologie mais bon je sais bien qu'un espace cofini implique que $\forall A\in E$ on a $A=\varnothing$ ou $A$ est fini alors comment peut-on répondre à cet exercice svp ?
Soit $(\mathbb{R},T)$ l'espace topologique co-fini, montrer que l'espace $(\R,T)$ n'est pas séparé et quasi compact.
Soit $(\mathbb{R},T)$ l'espace topologique co-fini, montrer que l'espace $(\R,T)$ n'est pas séparé et quasi compact.
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Réponses
Je crois savoir de quoi tu parles, mais ce serait une bonne idée d'écrire un énoncé complet avec toutes les définitions nécessaires.
Je te laisse pour la quasi-compacité
Formellement, si l'on note $\tau$ la topologie cofinie sur $X$, nous avons comme définition :
$\tau=\{A\subset X\mid X\setminus A\mbox{ est fini ou }A=\varnothing\}$
ou en définissant la topologie via les fermés : les fermés de X sont X et ses parties finies.
== Propriétés == Sur tout ensemble X, la topologie cofinie est la moins fine des topologies $T_1$.
Lorsque X est fini, toute partie de X est cofinie, donc appartient à $\tau$ : la topologie cofinie est en fait la topologie discrète sur X.
Lorsque X est infini, la topologie cofinie n'est pas séparée (précisé). A fortiori, elle ne vérifie aucun des axiomes de séparation.
L'espace X est connexe et localement connexe. Lorsque X est non dénombrable, il n'est pas à base dénombrable de voisinages.
Lorsque X a au moins la puissance du continu, X est connexe par arc et localement connexe par arc. En effet, toute application
injective du segment [0, 1] dans X est continue. Tout espace muni de la topologie cofinie est quasi et séquentiellement compact.
Edit : un espace accessible (ou T1, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique (exemple d'axiome de séparation).
Pour rester dans le sujet, si tu prends un recouvrement ouvert $\mathcal{U}$ de ton espace $X$, tu sais que n'importe quel ouvert $U \in \mathcal{U}$ s'écrit sous la forme $U = X \backslash \{x_1,...,x_n\}$, comment est ce que tu peux continuer pour extraire un recouvrement fini ?
A priori, j'aurais tendance à penser que tu dois privilégier les espaces séparés à l'agreg, même s'il ne t'est pas interdit d'évoquer par ci par là des espaces qui ne le sont pas. En plus la connexité sans séparation, c'est un peu comme les suites convergentes dans un espace non métrisable ou comme les éléments singuliers dans un produit fini de corps. Peu flamboyant.
Et c'est bien trop léger pour un développement. Et puis quel intérêt de faire ce genre de développement qui se case dans au plus une leçon ? Il y en a des très bien utilisant la connexité (au hasard simplicité de $SO_3(\mathbb R)$, surjectivité de l'exponentielle dans $GL_n(\mathbb C)$, isomorphisme $SO_0(2, 1) \simeq PSL_2(\mathbb C)$ etc.)
Edit : En fait l'espace des distributions à la propriété de Schur, ce qui veut dire que si une suite converge faiblement alors elle converge fortement. Ce qui fait que pour une convergence de suite de distributions on n'a pas besoin de connaitre la topologie de l'espace des distributions, juste la topologie faible (qui est plus simple à énoncer) et c'est souvent suffisant. Par contre l'espace des distributions n'est a priori pas un espace séquentiel.