Continuité fonction

Bonsoir.

Soit $E$ l'espace quadratique $\left(\mathbb R^{2n},Q\right)$ où : $$\begin{array}{crcl}
Q:&\mathbb R^{2n}\simeq\mathbb R^n\oplus\mathbb R^n&\longrightarrow&\mathbb R\\
& x\oplus y& \longmapsto& \sum_{k=1}^n x_k y_k.
\end{array}$$ Je note $L$ l'ensemble des sous-espaces totalement isotropes maximaux de $E$ (donc de dimension $n$).
On m'a dit que c'est un sous-espace de l'espace des grassmanniennes $G_n(\mathbb R^{2n})$ (les sev de $\mathbb{R}^{2n}$ de dimension $n$), donc je munis $L$ de la topologie induite.
J'appelle aussi $\rho:\mathbb R^{2n}\simeq\mathbb R^n\oplus\mathbb R^n\ni (x,y)\mapsto x$ la projection sur le premier $\mathbb{R}^n$.
Je dois trouver un homéomorphisme $\phi:O_n(\mathbb R)\to L$ tel que :
\begin{align}
\det(A)&=1\Leftrightarrow\dim\rho(\phi(A)) \equiv n\ [2]&(1)\\
\phi(I_n)&=\mathbb{R}^n \oplus \{0\}.&(2)
\end{align}
J'ai trouvé cette application : $$\phi : A\mapsto\{((A+I)v,(A-I)v):v\in\mathbb R^n\}$$
On a $\ \dim\rho(\phi(A))=\mathrm{rank}(A+I)$ et $\det(A)=(-1)^{n-\mathrm{rank}(A+I)}$
donc $(1)$ est vrai et $(2)$ est trivialement vraie.

Le truc con c'est que je n'arrive pas à prouver que $\phi$ est continue parce que je ne comprends pas bien la topologie des grassmanniennes :-D.
Est-ce qu'il y aurait un moyen de montrer ça facilement genre avec des suites ?
Merci d'avance