Quelle surface est-ce ?

soland
soland
dans Topologie
Toute surface compacte est la somme connexe tores ou de plans projectifs.
Quid de la surface infra plongée dans l'espace projectif ? Asymptotiquement, elle est la réunion d'un cône et d'un disque. Les connexions à l'infini sont projectives.

Image_1.jpg

Réponses

  • Archimède
    Archimède
    Toute surface compacte sans bord est la somme connexe d'une sphère, de tores ou de plans projectifs.
  • Bu
    Bu
    S'il s'agit bien d'une surface compacte sans bord, elle est non orientable, de caractéristique d'Euler $-1$ : la somme connexe d'un tore et d'un plan projectif.
  • soland
    soland
    @Bu
    Comment calcules-tu la caractéristique?
  • Bu
    Bu
    Nombre de sommets - nombre d'arêtes + nombre de faces
    J'ai un décomposition cellulaire avec 3 0-cellules (sommets), 8 1-cellules (arêtes) et 4 2-cellules (faces).
    N'es-tu pas d'accord avec ma conclusion ? La somme connexe d'un tore et d'un plan projectif se voit assez bien sur le dessin, de toutes façons (découper suivnt un cercle entourant les deux cercles dessinés dans le disque).
  • Archimède
    Archimède
    Je ne comprends pas la figure...
  • Bu
    Bu
    Mon interprétation est qu'on identifie un point du bord du disque horizontal au point diamétralement opposé et un point du cercle haut du "cone" au point du cercle bas diamétralement opposé.
  • Bu
    Bu
    Ah, en essuyant mes lunettes je m'aperçois que ce n'est pas la somme connexe d'un tore et d'un plan projectif que l'on voit par le découpage que j'ai indiqué plus haut, mais la somme connexe d'une bouteille de Klein et d'un plan projectif. Bon, le résultat est le même.
  • soland
    soland
    @Bu
    C'est bien la surface $3P=P+T$. Elle intervient de manière cruciale dans le théorème de classification des surfaces compactes fermées (Archimède). D'où son intérêt.
    Ma décomposition:

    Image_6.jpg
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je ne comprends rien à ta décomposition. Voici celle que j'ai faite. J'ai indiqué par des flèches les identifications sur les bords.
    Je ne vois pas non plus ce que cette surface a de crucial pour le théorème de classification.33585
  • soland
    soland
    Pour le théorème de classification : Si $P$, $T$ et $+$ désignent respectivement le plan projectif, le tore et la somme connexe, alors $P+T=3P$ montre que la somme connexe $aP+bT$ se ramène à $(a+2b)P$ en remplaçant successivement chaque $T$ par $2P$. Càd. que si une somme connexe contient fût-ce qu'un plan projectif, celui-ci agit comme une espèce de catalyseur qui transforme les $T$ en $2p$.

    Je vais essayer de rendre ma décomposition plus lisible.
    Cordialement.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je comprends ton explication sur $P\# P\# P = T\# P$.
    Tu sais, tu peux joindre des images directement dans tes messages, ça nous évitera les pubs "Comment perdre du poids pour 3 tailles en un mois" ou "Spend Day And Night In Front Of the Screen"
  • soland
    soland
    Comment je fais ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Clique sur "Joindre un fichier au message", tout simplement
  • soland
    soland
    Ça marche pas (encore?)

    F = 1 décagone. A = 5 arêtes a, b, c, d, e. S = 3 sommets A, B, C.
    $F+S-A=-1$

    Les "jaunes" de ces œufs au plat représentent les bords supérieur et inférieur de mon premier dessin; le contour du "blanc" le bord du disque médian.
    J'espère que c'est clair ?

    Image_1.jpg
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