MEF : Poutre soumise à charge triangulaire

Bonjour à tous,

Je me trouve actuellement confronté à un problème d'élements finis que je n'arrive pas à résoudre...

Le problème est une poutre de Berbouilli avec un charge triangulaire


Traduit en équation de cette manière :

edit : petite erreur sur la 4eme conditions, c'est v'''(L) et non v'''(x)



Ma solution analytique (vérifiée avec wolframalpha) est la suivante :


Après quelques petits calculs, j'obtiens la formulation faible suivante :



Suite à cela je calcul ma matrice de rigidité (qui semble bonne vis-à-vis de ce que j'ai pu lire sur internet)


Le calcul des forces nodales me parait plus bancale, après être passé dans un repère local, j'obtient la formule suivante :


Et après intégration :


Ensuite j'ajoute mes conditions initiales.
Pour bloquer le v(0)=0, je supprime la première ligne et colonne de ma matrice de rigidité
et pour rajouter le -kv(L)Ni(L) du vecteur de force, je rajoute un -k sur l'avant dernière ligne-avant dernière colonne de ma matrice de rigidité.

Après calcul de matlab, j'obtient qqch du genre :


La forme est pas mal, mais visiblement une petite erreur s'est glissée dans mes calculs....
Je pense que mon erreur vient de mon vecteur de force, et/ou de mes conditions aux limites que je ne dois pas correctement mettre en place...


Un expert en élements finis voit-il une erreur dans mon résonnement ?

Merci d'avance à tous