Transformée de Fourier discrète, intégration

Bonjour, j'aimerais calculer numériquement des intégrales du type
$$ c_{k}(f):=\int_{0}^{1}f(x)\exp(-2ik \pi x)dx $$ ( pas forcément des coefficients de Fourier ).
J'utilise ainsi la Transformée de Fourier discrète "FFT", puisque définie pour un vecteur $X$ de taille $N$ :
$$ FFT(X)[k]=\sum_{j=1}^{N}X(j)\exp(-2ik\pi (j-1)/N)$$ où $0 \leq k \leq N-1,$
et la formule des rectangles à gauche me donne l'estimation d'erreur
$$ \left| \int_{0}^{1} f(x)\exp(-2ik \pi x)dx - \frac{1}{N}FFT(X)[k] \right|=\mathcal{O}\left(\frac{1}{N}\right), $$

où $X=[f(0),f(1/N),f(2/N),...,f(N-1/N)].$

J'ai essayé avec $f=\sin $ mais j'ai l'impression que la fonction FFT ne calcule pas l'intégrale que je souhaite. On a pour formule explicite $$c_{k}(\sin)=\frac{ \exp(-2i\pi k)(-\exp(2i\pi k)+2i\pi k \sin(1)+\cos(1))}{4\pi^2 k^2-1}$$ et je l'ai comparé à la FFT du vecteur $[\sin(0),...,\sin(0.99)]$ pour $k=0$ à $k=100$ ( voir la figure ).
Que fait la FFT pour $k>50$ (alors que l'approximation est bonne pour $0 \leq k \leq 50$ ? On devrait avoir une erreur de $\mathcal{O}(10^-2)$ partout par la formule des rectangles.
D'autre part, on dirait qu'il y a une symétrie pour les coefficients calculés par la FFT: Pourquoi?

Merci de votre aide