Calcul de dérivées par FFT

Bonjour,

J'aimerais calculer des dérivées de fonctions numériquement par l'intermédiaire de la DFT/fft. J'ai trouvé des algorithmes fonctionnant, mais je ne comprends pas la théorie derrière.
Notons $x_n=-L+(n-1)*dx$ pour $1 \leq n \leq N$ mon maillage en espace. La formule pour l'approximation de $f'$ sur $[-L,L]$ est
$$ S(f)=\text{ifft}[iK.*\text{fft}(f(x_j)_j)]$$
où $K$ est le vecteur $\frac{2\pi}{2L}[0,...,N/2,0,-N/2+1,...,-1].$

a) Comment puis-je trouver $K$ ? Pourquoi $K=[0,...,N]$ ne fonctionne pas schant que pour le $k^{ième}$ coefficient de Fourier, on a $c_{k}(f')=2i\pi k c_{k}(f)$ ?


b) Y-a-t-il une estimation d'erreur du type $\Vert f'(x_j)- S(f) \Vert_{\infty}\leq ... $ ?