Visualisation intégrale complexe
Bonjour,
Je cherche à voir la tête de cette fonction $f$ pour $0<x<1$ :
$$f(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{x^{-s}}{\zeta(1-s)}\frac{ds}{s}$$
Je ne pense pas qu'il existe une formule simple. J'ai vu que Mathematica pouvait calculer des transformations inverses mais je n'ai pas cet outil. Quelqu'un peut il tenter de tracer un graphique? Merci.
Je cherche à voir la tête de cette fonction $f$ pour $0<x<1$ :
$$f(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{x^{-s}}{\zeta(1-s)}\frac{ds}{s}$$
Je ne pense pas qu'il existe une formule simple. J'ai vu que Mathematica pouvait calculer des transformations inverses mais je n'ai pas cet outil. Quelqu'un peut il tenter de tracer un graphique? Merci.
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Réponses
Au passage, puisque tu disposes de PARI, tu peux utiliser la commande intmellininv qui calcule ce genre d'intégrale.
Prenons $c>1$ pour voir. Je n'ai pas cette commande dans ma vieille version de pari et je n'ai pas réussi la mise à jour sous mac.
$f(0,01) \approx -3,46$, $f(0,1) \approx -0,57$, $f(0,2) \approx 0,23$, $f(0,25) \approx -0,15$, $f(0,3) \approx 0,45$, $f(0,4) \approx -0,124$, $f(0,5) \approx 0,07$, $f(0,6) \approx -0,15$, $f(0,75) \approx 0,16$ et $f(0,9) \approx -0,19$.
Pour $c \in \left ]1,2 \right[$ fixé et $x >0$, j'ai obtenu la majoration (pas très bonne)
$$\left | f(x) \right | \leqslant \frac{3x^{-c}}{\pi \sqrt{2 \pi}} \left( \frac{c^{1/2-c}}{(c-1)^2 \left | \cos \frac{ \pi c}{2} \right |} + \frac{2c}{(c-1)(2c-1)} \right).$$
J'ai corrigé un détail dans la majoration ci-dessus, sur le cosinus.
$$\left | \frac{1}{\zeta(s)} \right | \leqslant \zeta(\sigma) \leqslant \frac{\sigma}{\sigma-1} \quad \left( \sigma > 1 \right).$$
En prenant plutôt
$$\left | \frac{1}{\zeta(s)} \right | \leqslant \frac{\zeta(\sigma)}{\zeta(2 \sigma)} \quad \left( \sigma > 1 \right)$$
on obtient pour tout $x > 0$ et tout $c > 1$ tel que $c \neq 2n+1$ avec $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$
$$\left | f(x) \right | < \frac{3}{\pi \sqrt{2 \pi}} \frac{(2 \pi e)^c \zeta(c)}{ \zeta(2c)} \left( \frac{ c^{\frac{1}{2}-c}}{\left | \cos \frac{\pi c}{2} \right |} + \frac{2}{2c-1} \right) x^{-c}.$$
Par exemple avec $c=1,5$, ça donne $|f(x)| < 114 \, x^{-3/2}$.
La présence du cosinus rappelle que les entiers impairs $2n+1$ sont tous des pôles simples de la fonction $\zeta(1-s)^{-1}$.
$$g(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\beta(1-s)}{s(1-s)}\frac{ds}{x^{s}}$$
Où $\beta(s)=\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}$ qui se calcule bien avec pari en utilisant sumalt. Notamment je cherche à savoir si c'est une fonction affine par morceaux sur $]0,1]$.
Quelqu'un peut il tenter un tracé de $g$ avec par exemple $c=1/2$?
$$g(x) = \frac{x^{-1}}{2 \pi i} \int_{1-c-i \infty}^{1-c+i \infty} \frac{L(s,\chi_4) x^s}{s(1-s)} \textrm{d}s \quad \left( x>0, \ c \in \left ]0,1 \right[ \right).$$
Quelques valeurs avec $c= \frac{1}{2}$.
$g(0,1) \approx -0,7$, $g(0,2) \approx 34,7$, $g(0,3) \approx 2,3$, $g(0,4) \approx -1,97$, $g(0,5) \approx -1,1$, $g(0,6) \approx 1,33$, $g(0,7) \approx -0,1$, $g(0,8) \approx 1,77$ et $g(0,9) \approx -0,85$.
Sur $\left ]0,1;0,2\right [ $:
$g(0,125) \approx 0,98$, $g(0,15) \approx 5,77$, $g(0,175) \approx 3,6$, $g(0,18) \approx -3,9$, $g(0,19) \approx -4,61$, $g(0,195)\approx 5$.
$$I_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{1/2-i\infty}^{1/2+i\infty}\frac{(2n+1)^{-s}x^{s}}{s(1-s)}ds$$
$$g(x) = \frac{x^{-1}}{2 \pi i} \int_{1-c-i \infty}^{1-c+i \infty} \frac{L(s,\chi_4) x^s}{s(1-s)} \textrm{d}s \quad \left( x>0, \ c \in \left ]0,1 \right[ \right).$$
1. Par sommation partielle, pour tout réel $x \geqslant 1$ et tout $s = \sigma + it$ tel que $\sigma > 0$
$$L(s,\chi_4) = x^{-s} \sum_{n \leqslant x} \chi_4(n) - \sum_{n \leqslant x} \frac{\chi_4(n)}{n^s} - s \int_x^\infty \frac{1}{u^{s+1}} \left( \sum_{n \leqslant u} \chi_4(n) \right) \textrm{d}u$$
de sorte que, si $0 < \sigma < 1$
$$\left | L(s,\chi_4) \right | < x^{-\sigma} \left( 1 + |s| \sigma^{-1} \right) + \frac{x^{1-\sigma}}{1-\sigma}$$
où j'ai utilisé $\displaystyle \left | \sum_{n \leqslant u} \chi_4(n) \right | \leqslant 1$ pour tout $u \in \mathbb{R}$. En prenant $s=1-c+it$ et en choisissant $x = |t|+2$, il vient, si $c \in \left]0,1\right [$ et $t \in \mathbb{R}$
$$\left | L(1-c+it,\chi_4) \right | < \left ( |t| + 2 \right)^c \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{1-c} \right) + \left( |t|+2 \right)^{c-1}.$$
2. On peut obtenir une majoration meilleure en utilisant un résultat dû à Rademacher (1959) et qui fournit, après quelques calculs
$$\left | L(1-c+it,\chi_4) \right | < \left( |t| + 2 \right)^{c/2} \left( 1,36 \log \left( |t| + 2 \right) + 1 \right) \quad \left( |t| \geqslant 28 \right).$$
3. On a alors
$$\left | g(x) \right | \leqslant \frac{x^{-c}}{\pi} \left( \int_0^{28} + \int_{28}^\infty \right) \frac{\left | L(1-c+it,\chi_4) \right |}{\left | 1-c+it \right | \left | c+it \right |} \textrm{d}t$$
et on utilise la majoration du 1° pour la $1$ère intégrale, et celle du 2° pour la $2$nde, ce qui donne, pour $x >0$ et $c \in \left ] 0,1 \right [$
$$\left | g(x) \right | < \frac{x^{-c}}{\pi} \left( \frac{2^c \left( c^2+15^c(31-c^2)-3\right)}{c \left(1-c^2 \right)} + \frac{3 \times \left( (68-34c) \log 84 + 25c - 118 \right)}{25 (2-c)^2 2^{1-c} 7^{1-c/2}} \right).$$
Par exemple, respectivement avec $c= \frac{1}{3}$, $c = \frac{1}{2}$ et $c = \frac{2}{3}$, on obtient pour tout $x >0$
$$\left | g(x) \right | < \frac{100}{x^{1/3}}, \quad \left | g(x) \right | < \frac{140}{\sqrt{x}} \quad \textrm{et} \quad \left | g(x) \right | < \frac{251}{x^{2/3}}.$$
Sinon toujours personne pour faire un graphique de $g(x)$ sur $]0,1]$? Disons pour $x=0.01,0.02,...,0.99,1$? J'aimerai vraiment voir la tête de cette fonction.
$$g(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{-c+i \infty}^{-c-i \infty} \frac{L(s+1,\chi_4) x^s}{s(s+1)} \, \textrm{d}s = -\frac{1}{x} \sum_{n \leqslant x} \chi_4(n) \left( \frac{x}{n} - 1 \right) = -L(1,\chi_4) + O \left( \frac{1}{x} \right) = - \frac{\pi}{4} + O \left( \frac{1}{x} \right).$$
La différence, ce sont les régions dans lesquelles vivent tes variables.