Équation différentielle insoluble
Bonjour à tous,
Je suis étudiant en classe prépa PT* et pour mon projet de T.I.P.E je cherche à déterminer l'équation de mouvement d'une soupape sollicitée par des aimants et électro-aimants (moteur Camless, pour ceux qui connaissent). Seulement voilà, du fait de l'utilisation d'aimants, les forces en présence ont une forme particulière et l'équation du principe fondamental de la dynamique ressemble à un truc sorti de l'enfer. \[
65\, e^{-320(x+0.045)}-200\, e^{-260(x-0.025)}=0.1\:\ddot{x}
\] Je ne trouve aucun moyen de résoudre ça : ma calculatrice était déjà au bout de sa vie lors de la résolution de l'équation en statique (avec un 0 à la place du $0.1*x$'' donc...) et les méthodes que je connais par rapport à python ou Matlab ont besoin d'équations "standard" (linéaire à coefs constants). J'ai également essayé avec un DL mais le résultat n'est pas intéressant du tout.
Pour info, même si ce n'est pas utile au problème, les coefs $65$ et $200$ sont les forces en N au contact des aimants, qui décroissent donc de manière exponentielle avec la distance (formule déterminée empiriquement avec les aimants sous les yeux et Excel). le $(x+0.045)$ est le décalage par rapport à l'origine en mètres, et le $0.1$ la masse en kg du système (soupape en plastique imprimé 3D avec un aimant solidaire de la soupape).
Merci d'avance pour votre aide.
Edit : équation corrigée
[Prière de ne pas ré-introduire de faute d'orthographe dans le titre après correction (accent sur le É) ! AD]
Je suis étudiant en classe prépa PT* et pour mon projet de T.I.P.E je cherche à déterminer l'équation de mouvement d'une soupape sollicitée par des aimants et électro-aimants (moteur Camless, pour ceux qui connaissent). Seulement voilà, du fait de l'utilisation d'aimants, les forces en présence ont une forme particulière et l'équation du principe fondamental de la dynamique ressemble à un truc sorti de l'enfer. \[
65\, e^{-320(x+0.045)}-200\, e^{-260(x-0.025)}=0.1\:\ddot{x}
\] Je ne trouve aucun moyen de résoudre ça : ma calculatrice était déjà au bout de sa vie lors de la résolution de l'équation en statique (avec un 0 à la place du $0.1*x$'' donc...) et les méthodes que je connais par rapport à python ou Matlab ont besoin d'équations "standard" (linéaire à coefs constants). J'ai également essayé avec un DL mais le résultat n'est pas intéressant du tout.
Pour info, même si ce n'est pas utile au problème, les coefs $65$ et $200$ sont les forces en N au contact des aimants, qui décroissent donc de manière exponentielle avec la distance (formule déterminée empiriquement avec les aimants sous les yeux et Excel). le $(x+0.045)$ est le décalage par rapport à l'origine en mètres, et le $0.1$ la masse en kg du système (soupape en plastique imprimé 3D avec un aimant solidaire de la soupape).
Merci d'avance pour votre aide.
Edit : équation corrigée
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Réponses
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Bonjour,
Es-tu sûr de ton équation ? J'ai un doute sérieux sur certains signes et sur l'ordre de grandeur des coefficients. Peux-tu vérifier ?
Sinon pour la résolution, la soupape oscille autour d'une position moyenne. On peut linéariser autour de cette position avec $x = x_0 + \xi$ en supposant $\xi$ petit... $e^{a x} = e^{a x_0 + a \xi} = e^{a x_0} (1+ a \xi + o(\xi))$ -
Désolé j'ai en effet mal recopié l'équation, il y avait bien des problèmes de signes. Concernant les coefficient ils sont a priori tous corrects, 200 N au contact pour l'électroaimant, 6,5 kgF en force d'adhérence pour l'aimant permanent, et la décroissance extrêmement rapide d'où les gros coefs dans les expo (quasiment plus aucune force à partir de 10 mm de distance).
Le problème c'est que cette étude à besoin d'une bonne précision et le résultat final doit avoir cette tête là (sans la redescente):
Je voudrais donc éviter les approximations.
Bon... j'ai pas l'habitude de manier ce genre de formules pour les forces... j'ai fait un changement d'origine qui devrait être plus pertinent.
\[65\exp^{-0.32x}-200\exp^{0.26(x-7)}=0.1\: \ddot{x}\]
valable uniquement pour x compris entre 0 et 7 mm (sinon les signes changent et ça met la zone)
Cette fois ci on passe à 0.32 et 0.26 parce que je me suis mis en mm.
Enfin bref ce qui est important pour moi actuellement c'est d'avoir la méthode pour résoudre cette... chose. -
Moi je ne connais rien à la Physique, mais si j'ai bien compris $x $ est une fonction inconnue de la variable $t$, et cette fonction $x$ est solution d'une équation différentielle : $ae^{-\alpha x}-be^{-\beta x}=x^{\prime \prime }$ où $a,b,\alpha ,\beta $ sont des constantes réelles strictement positives.
Si c'est bien le cas, cette équation implique : $ae^{-\alpha x}x^{\prime }-be^{-\beta x}x^{\prime }=x^{\prime }x^{\prime\prime }$, et une première « quadrature » comme on disait jadis conduit à : $-\frac{a}{\alpha }e^{-\alpha x}+\frac{b}{\beta }e^{-\beta x}=\frac{1}{2}x^{\prime 2}+C$.
Ensuite si l'on sait des choses sur les conditions initiales c'est tout bénef', et on doit pouvoir se ramener à une équation différentielle du premier ordre à variables séparables.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Merci bien, ça m'avance déjà un peu même si je ne sais pas ce qu'est une équadiff à "variables séparables" (ni une quadrature...) haha, mais bon je chercherais ou je verrais avec mon prof de maths. J'ai bien sûr connaissance des conditions initiales (position et vitesse).
En fait, pour être précis, je ne cherche pas réellement à résoudre cette équation dans le sens "trouver une fonction qui résout cette équation et la donner" (même si ce serait l'idéal), une simple courbe fait à l'aide d'un logiciel me suffirait. -
Non, c'est une blague, une « quadrature » c'est juste ce qu'on appelle aujourd'hui une primitivation, c'est ce que j'ai fait.
« À la physicienne », si $C=0$, notre équation différentielle s'écrit : $\frac{dx}{dt}=\pm \sqrt{-\frac{2a}{\alpha }e^{-\alpha x}+\frac{2b}{\beta }e^{-\beta x}}$,
soit en « séparant les variables » : $\displaystyle \int dt=\pm \int \frac{dx}{\sqrt{-\frac{2a}{\alpha }e^{-\alpha x}+\frac{2b}{\beta }e^{-\beta x}}}$.
Il faudrait en savoir un peu plus sur les conditions initiales pour rendre ça plus rigoureux, du moins si c'est nécessaire ...
On a déjà parlé à deux reprises d'équations différentielles à variables séparables il n'y a pas longtemps.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
D'accord c'est ce que j'avais cru comprendre
Mes conditions initiales sont x(0)=7 et x'(0)=x''(0)=0
donc si j'ai bien suivi, ici "C" est la condition initiale sur x' donc elle est bien nulle, et il me "suffit" maintenant de calculer cette intégrale...
Merci beaucoup pour votre aide ! -
Je crains que l'intégrale que j'ai indiquée ne puisse se calculer au moyen de primitives élémentaires. Mais heureusement ce n'est pas ce que tu cherches, et cette équation différentielle du premier ordre que j'ai obtenue peut se résoudre par des méthodes approchées (Euler, Runge-Kutta), qui peuvent se programmer pour obtenir les courbes intégrales.
Bon courage, et bonne soirée.
Fr. Ch. -
C'est ce que je sous entendais par "calculer l'intégrale".
Je ne traite pas les équations différentielles de cette manière: en temps normal elle est sous forme canonique et par les tangentes et la méthode d'Euler j'obtiens ce que je veux, or ici comme elle ne se présente pas sous cette forme j'ai improvisé quelque chose qui me donne un résultat plutôt cohérent pour un premier test.
Dois-je faire une courbe en utilisant plusieurs valeurs de t et plusieurs valeurs de "I(t)" qui serait l'intégrale de 0 à t de la grosse fonction? une intégrale de "t-p" à t avec p le pas? ou pas du tout?
EDIT: je penche pour le pas du tout
En faisant cela voilà la courbe que j'obtiens et le programme python associé: -
Malheureusement je viens de m’apercevoir d'un détail qui pose problème, vous avez dit:
$ae^{-\alpha x}-be^{-\beta x}=x^{\prime \prime }$
où $a,b,\alpha ,\beta $ sont des constantes réelles strictement positives.
En réalité ce serait: $ae^{-\alpha x}-be^{+\beta x-\gamma}=x^{\prime \prime }$
toujours avec les termes positifs.
En refaisant les calculs, j'arrive à une imcompatibilité:
$-\frac{a}{\alpha }e^{-\alpha x}-\frac{b}{\beta}e^{\beta x - \gamma}=\frac{1}{2}x^{\prime 2}$.
Il est donc possible que mon équation de base soit malheureusement fausse... En tout cas j'ai compris votre démarche donc je pourrais le refaire sur une autre version de cette équation sans problème. -
Ah oui, moi j'étais parti de l'équation de ton premier message, mais tu as changé ensuite.
Tu peux faire entrer le $e^{-\gamma}$ dans le $b$, et ton équation devient :
$ae^{-\alpha x}-be^{\beta x}=x^{\prime \prime }$,
avec $a,b,\alpha, \beta$ constantes réelles strictement positives.
Ce qui implique :
$ -\frac{a}{\alpha }e^{-\alpha x}-\frac{b}{\beta}e^{\beta x }+C=\frac{1}{2}x^{\prime 2}$.
Avec une constante $C$ convenable ça devrait être possible.
Bon courage.
Fr. Ch. -
Oui pour éviter ce problème j'ai pris une constante C fortement positive, mais C est censé être nulle en réalité puisque sauf erreur de ma part c'est la condition initiale de l'intégration x'' à x' donc la condition initiale de vitesse... Je réfléchirai à tout ça avec mes profs, de toutes manières je connais la méthode maintenant.
Merci beaucoup pour votre aide!
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