Intersection de corps de nombres avec Sage

Jean-Yves Degos · March 2018

Bonjour à tous,
Savez-vous si Sage permet de calculer des intersections de corps de nombres ?
Typiquement, si :

K1.<a>=NumberField(x^2-2)
K2.<b>=NumberField(x^2-3),

comment pourrait-on vérifier que $K_1 \cap K_2=\mathbb{Q}$ ?

Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement,
Jean-Yves Degos

GaBuZoMeu · March 2018

Intersection dans quoi ? Les corps de nombres auraient-ils un seul plongement dans $\overline{\mathbb Q}$ ?

parisse · March 2018

En calculant le polynôme minimal de a+b, on voit qu'il est de degre 4, je ne connais pas la syntaxe avec Sage, avec Xcas pmin(sqrt(2)+sqrt(3)) renvoie poly1[1,0,-10,0,1].

Sylvain · March 2018

@parisse : N'est-ce pas le compositum plutôt que l'intersection ?

parisse · March 2018

Sylvain : le fait que Q[sqrt(2)+sqrt(3)] est de degre 4 va entrainer que Q[sqrt(2)] et Q[sqrt(3)] ont Q comme intersection.

Sylvain · March 2018

D'accord. Y a-t-il une formule analogue à celle de proba $ P(A\cup

=P(A)+P(B)-P(A\cap

$? Genre $\dfrac{[L : K][L' : K]}{[L\cap L' : K]}=[L\cup L' : K] $?

Jean-Yves Degos · March 2018

Bonsoir
Pour répondre à GabuZoMeu, on peut supposer qu'on part plutôt de :

L.<a,b>=NumberField([x^2-2,x^2-3])

et dans ce cas on peut séparer la question initiale en deux :
1 - comment construire les corps $K_1=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ et $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ comme sous-corps de $L$ ;
2 - comment calculer $K_1 \cap K_2$ comme sous-corps de $L$ ?

Cordialement,
Jean-Yves

Intersection de corps de nombres avec Sage

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