Racine cubique dans Geogebra

La fonction $x\mapsto x^3$ est bijective de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$. Sa fonction réciproque va de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Idem pour toutes les puissances impaires.

Si on choisit une racine carrée de $-1$, nommons-la $(-1)^{1/2}$, la relation $\bigl((-1)^{1/2}\bigr)^2=\bigl((-1)^2\bigr)^{1/2}$ est également fausse. On trouve parfois commode de définir une racine carrée sur $\C$ privé de $\R^-$.

Conséquence de ce problème avec cette racine carrée : si on définit pour $x$ réel négatif $\sqrt{x}$ comme $\sqrt{|x|}\sqrt{-1}$, alors $\sqrt{xy}$ n'est pas toujours égal à $\sqrt{x}\sqrt{y}$. Ici, coup de chance, $(xy)^{1/3}=x^{1/3}y^{1/3}$ pour tous les réels $x$ et $y$ : on perd donc moins qu'avec l'extension de la racine carrée !