Graphe avec geogebra

j=2
h(x)=(x/abs(x)+1)/2
g(x)=h(x-1/j)-h(x+1/j)+1

f(x)=ln(abs(x))g(x,j)-ln(j)*(1-g(x,j))

• pour $u$ réel non nul, $\dfrac{u}{|u|}$ est le signe de $u$ : il vaut $-1$ si $u<0$ et $1$ si $u>0$ ;
• pour $u$ réel non nul, $h(u)=\dfrac12\left(\dfrac{u}{|u|}+1\right)$ vaut $0=\frac{1-1}{2}$ si $u<0$ et $1=\frac{1+1}2$ si $u>0$ ;
• $h\bigl(x-\frac1j\bigr)$ vaut donc $0$ si $x<\frac1j$ et $1$ si $x>\frac1j$ ;
• $-h\bigl(x+\frac1j\bigr)$ vaut donc $0$ si $x<-\frac1j$ et $-1$ si $x>-\frac1j$ ;
• $g(x,j)=h\bigl(x-\frac1j\bigr)-h\bigl(x+\frac1j\bigr)+1$ vaut donc
  • $1=0+0+1$ si $x<-\frac1j$,
  • $0=-1+0+1$ si $-\frac1j<x<\frac1j$,
  • $1=-1+1+1$ si $\frac1j<x$,
  c'est-à-dire $1$ à l'extérieur de $\bigl[-\frac1j,\frac1j\bigr]$ et $0$ à l'intérieur ;
• $g(x,j)\ln|x|$ vaut donc $\ln|x|$ à l'extérieur de $\bigl[-\frac1j,\frac1j\bigr]$ et $0$ à l'intérieur ;
• $-\bigl(1-g(x,j)\bigr)\ln j$ vaut donc $0$ à l'extérieur et $\ln\frac1j$ à l'intérieur de $\bigl[-\frac1j,\frac1j\bigr]$.