Calculer vite det(A)

On connaît $A\in GL_n(K)$ où $n$ est grand (mais pas trop pour que la multiplication rapide ne soit pas plus rapide que la "schoolbook") et $K$ est un corps, disons un grand corps fini (et non malade).
Supposons que l'on veuille calculer $\det(A)$.
Noter qu'on peut calculer la factorisation LU de $A$, donc $\det(A)$,en $\sim n^3/3$ couples d'opérations $(+,\times)$,
Peut-on aller plus vite si on connaît en plus $A^{-1}$ ?
La réponse est OUI. J'ai une méthode en $\sim n^3/12$.
Peut-on faire mieux ?