Pari/gp

Dig a écrit:

corps réel maximal d'un corps imaginaire donné

D'un corps à multiplication complexe, tu veux dire ?

Pour le cas général, la réponse est non, pas à ma connaissance.

Pour un corps cyclotomique, tu as la commande polsubcyclo$(n,d)$ qui te renvoie le (ou les) équation(s) du (des) sous-corps de degré $d$ de $\mathbb{Q} (\zeta_n)$.

Je ne pense pas qu'il y ait mieux.

Bonjour,

Tu peux obtenir le sous-corps réel du corps cyclotomique $\Q(\zeta_n)$ ainsi :

galoissubcyclo(n,-1)

(c'est-à-dire le sous corps fixé par $-1$ via l'isomorphisme canonique $Gal(\Q(\zeta_n)/\Q)\cong(\Z/n\Z)^\times$).

Exemple :

? galoissubcyclo(72,-1)
% = x^12 - 12*x^10 + 54*x^8 - 112*x^6 + 105*x^4 - 36*x^2 + 1

Tu peux obtenir le sous-corps réel d'un corps CM avec nfsubfields ainsi :

realsubfield(nf) = my(L,n=poldegree(nf.pol)); L=nfsubfields(nf,n\2); for(i=1,#L,if(polsturm(L[ i ][1])==n\2,return(L[ i ])));

(attention, ce code suppose que le corps est CM sans le vérifier).

Exemple :

? nf = nfinit(x^4 - 2*x^3 + 17*x^2 - 16*x + 9);
? realsubfield(nf)
% = [x^2 + 30*x + 5, 2*x^2 - 2*x + 1] \\ [polynôme de définition, plongement]

Amicalement,
Aurel