Polynôme à coef dans F2^6 (sage)

kayakpopot · May 2019

Bonjour, j'ai encore un petit problème avec SAGE, si vous pouviez m'aider...
Je veux déterminer l'unique polynôme de à coefs dans F2⁶ de la forme P₁=ax⁴+bx²+c
vérifiant P₁(1)=1, P₁(w)=0, P₁(w^2)=0 où F2⁶ est construit par F2[x]/<x⁶+x⁴+x³+x+1>
et w est tel que w⁶+w⁴+w³+w+1=0 dans F2⁶
je tape cela sous SAGE

Q.<w>=PolynomialRing(GF(2))
F=GF(2**6,name='w',modulus=w**6+w**4+w**3+w+1)

MS=MatrixSpace(F,3,3)
M=MS([1,1,1,w**4,w**2,1,w**8,w**4,1])

B1=matrix(F,3,1,[1,0,0])
C1=M.solve_right(B1)
P=PolynomialRing(F,'x')
x=P.gen()
P1=C1[0]*x**4+C1[1]*x**2+C1[2]
P1(w)

et sa réponse est:

(w^3 + w^2 + w + 1)*w^4 + (w^5 + 1)*w^2 + w^5 + w^3 + w^2 + w + 1)

puis quand je tape

F((w^3 + w^2 + w + 1)*w^4 + (w^5 + 1)*w^2 + w^5 + w^3 + w^2 + w + 1))

j'obtiens bien le 0 attendu...
Mon problème c'est que P₁ n'est pas considéré comme un polynôme de F2⁶[x]?
Comment faire pour que Sage me donne bien P₁(w)=0 ?
Voilà je ne sais pas ce qui cloche...
Merci de votre aide.

GaBuZoMeu · May 2019

Remplace ta ligne de définition de B1 par
B1=vector(F,[1,0,0])
et ça ira mieux.

PS. Ça répare un truc, mais ça ne suffit pas. Essaie :

F.<w>=GF(2**6,name='w',modulus=x**6+x**4+x**3+x+1)

M=matrix(F,3,3,[1,1,1,w**4,w**2,1,w**8,w**4,1])

B1=vector(F,[1,0,0])
C1=M.solve_right(B1)
P.<x>=PolynomialRing(F,'x')
P1=C1[0]*x**4+C1[1]*x**2+C1[2]
P1(w)

kayakpopot · May 2019

Merci de ton aide.
j'essaie:
Q.<w>=PolynomialRing(GF(2))
F=GF(2**6,name='w',modulus=w**6+w**4+w**3+w+1)
MS=MatrixSpace(F,3,3)
M=MS([1,1,1,w**4,w**2,1,w**8,w**4,1])

B1=vector(F,[1,0,0])
C1=M.solve_right(B1)
P=PolynomialRing(F,'x')
x=P.gen()
P1=C1[0]*x**4+C1[1]*x**2+C1[2]
P1.parent()
et
la réponse est Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field in w of size 2^6
donc c'est déjà bien mieux
pourtant:
P1.subs(w)
me donne toujours
(w^3 + w^2 + w + 1)*w^4 + (w^5 + 1)*w^2 + w^5 + w^3 + w^2 + w + 1
et non pas 0...

GaBuZoMeu · May 2019

Essaie w.parent() et tu comprendras le problème. J'ai modifié mon message plus haut.

kayakpopot · May 2019

Ah oui super merci! Effectivement le w n'était pas ce que je pensais être. Je pensais que ma déclaration était correcte.
Merci encore pour tout.

GaBuZoMeu · May 2019

Avec plaisir.

parisse · May 2019

A titre de reference, voici une solution en Xcas: session Xcas

kayakpopot · May 2019

Merci aussi.
C'est super d'avoir les deux versions.

kayakpopot · May 2019

D'ailleurs peut-on choisir, avec Xcas, le polynôme qui engendre l’idéal par lequel on "quotiente"?
Existe-t-il un manuel/doc de Xcas papier du style le livre bleu de SAGE? (J'aime bien le papier!!!)

Voilà encore merci pour vos réactivités.
François

parisse · May 2019

On peut imposer le polynôme minimal de l'extension dans Xcas en le passant en argument a GF:
GF(2,w^6+w^4+w^3+w+1)
On a alors un avertissement sur le fait que le polynôme n'est pas forcement primitif, si on donne juste GF(2,6) Xcas choisit forcement un polynôme primitif.
Il n'y a pas de manuel édité de Xcas, mais toute la documentation est en ligne depuis le menu Aide>Manuels, en particulier le manuel Algorithmes de calcul, en 2 versions, la version PDF imprimable et la version HTML5 avec un index (ce qui donne de l’intérêt a la consultation en ligne), et où on peut modifier et exécuter des exemples de la doc directement depuis le navigateur où on le consulte (cela fonctionne hors ligne donc aussi le jour de l'oral de l'agreg). Ce manuel contient aussi des énoncés et des démonstrations et peut donc servir de référence indépendamment du logiciel effectivement utilisé pour illustrer un texte.

kayakpopot · May 2019

Merci pour toutes ces précisions.

Polynôme à coef dans F2^6 (sage)

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